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一元二次不等式的解法導學案
一元二次不等式解法中蘊含的數(shù)學思想方法——《一元二次不等式的解法》導學案
邵麗云
內(nèi)容分析:
一元二次不等式的解法是在初中學習了一元一次不等式、一元一次不等式組后而學習的內(nèi)容。一元二次不等式的解法是研究函數(shù)的重要工具,是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,也是高考?嫉膬(nèi)容。一元二次不等式的解溝通了三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系,蘊含諸多重要的數(shù)學思想方法,如數(shù)形結合,函數(shù)方程,分類討論,轉化化歸等重要的思想方法。本節(jié)主要是通過不等式的解法教學,讓學生了解、掌握一些重要的思想和方法
學習目標:
1.經(jīng)歷探索一元二次不等式求解的推理過程,會解一元二次不等式。
2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。
3.體悟數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論、轉化和化歸等數(shù)學思想與方法。
學習重點:
一元二次不等式的解法。
學習難點:
一元二次不等式的解法的分類討論。
學習關鍵:
找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關系。
學習過程:
環(huán)節(jié)1:設疑導思
設疑:當x取什么值的時候,2x-7的值)等于0;大于0;小于0。
思考:可以用幾種方法求解上題?
提出問題:類比上述圖象解法,能否解決不等式x2-x-6>0,x2-x-6<0?
如何解決?
(學生獨立完成,一名學生板)
觀察黑板上圖象可得:當x<-2或x>3時,x2-x-6>0。
當-2<x<3時,x2-x-6<0。
【設計意圖:揭示一元二次函數(shù)和一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系,滲透數(shù)學結合,函數(shù)方程思想方法!
環(huán)節(jié)2:探究方法
問題1:怎樣確定一元二次不等式ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0的解集?
組織討論:
思考方向:(1)確定一元二次不等式的解的關鍵是什么?
(2)有根的前提下,兩根之內(nèi)還是兩根之外由什么決定?
解題策略:使a值為正,求得兩根,“>”則兩根之外;“<”則兩根之內(nèi)。
【設計意圖:歸納方法,滲透由特殊到一般的思想方法!
從上例出發(fā),結合學生的回答結果,歸納出一元二次不等式解法,
老師引導,學生總結:
、賿佄锞y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關位置,由二次方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2-4ac的情況確定,分△>0、△=0、△<0三種情況。
、赼<0可轉化為a>0。
黑板顯示出:三個二次之間的關系 由學生填空.并歸納解一元二次不等式的步驟(學生總結,教師歸納補充):
①化二次項系數(shù)a為正;
、谇蟆;
、劢鈱囊辉畏匠;
、茏詈笄蠼獬鲆辉尾坏仁。
環(huán)節(jié)3:運用鞏固
[例1] 解下列不等式:
(1) x2+8x+15>0 (2)-x2-3x+4>0 (3) 2x2-1<x2+4x-2
(4) -x2+2x>1 (5) x2+2x+3>0 (6) x2-2x+5<0
解題反思:你覺得在解一元二次不等式過程中有哪些注意點?
【設計意圖:熟練掌握方法,注意數(shù)形結合,函數(shù)方程等思想方法的應用!
環(huán)節(jié)4:深化拓展
問題2:能否寫出一個解集為(-2,1)的一元二次不等式?這樣的不等式有幾個?能給出一個一般的形式么?(學生交流討論)
[例2]若不等式2x2-ax+b>0的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞),求a、b值。
【設計意圖:體悟轉化化歸思想,函數(shù)方程,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法!
問題3:會解含參數(shù)的不等式嗎?
[例3] 解關于x的不等式:(m2-4)x<m+2。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2) 如何進行討論?
[例4] 解關于x的不等式:x2-(m+2)x+2m<0。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2) 如何進行討論?
[例5] 解關于x的不等式:mx2-(m+1)x+1<0。
反思:(1) 引起討論的原因是什么?
(2)如何進行討論?
第一層次:一次不等式還是二次不等式的不確定性,對m≠0與m=0進行討論。
第二層次:x2前系數(shù)正負(不等號方向)的不確定性,對m<0與m>0進行討論。
第三層次: 與1大小的不確定性,對m<1、m>1與m=1進行討論。
[例6] k為何值時,關于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為(-∞,∞)?
變式1:k為何值時,關于x的一元二次不等式(k+1)x2-2x+k+1>0的解集為(-∞,∞)?
變式2:k為何值時,關于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+2>0的解集為
(-∞,∞)?
【設計意圖:加深對不等式解的理解,滲透分類討論、數(shù)形結合的思想方法!
環(huán)節(jié)5:總結提升
請從知識、思想方法等方面談談你的收獲?
體悟數(shù)學思想 活用數(shù)學方法
一、在優(yōu)化內(nèi)容時注重數(shù)學思想方法的挖掘
(一)明確學習內(nèi)容標準,挖掘教材蘊含的數(shù)學思想方法。
。ǘ⿵摹胺椒ā绷私狻八枷搿,用“思想”指導“方法”。
二、在課堂教學中注重數(shù)學思想方法的體悟
(一)探索“方法”,感悟“思想”。
。ǘ┬纬伞胺椒ā,理解“思想”。
。ㄈ┻\用 “方法”,內(nèi)化“思想”。
。ㄋ模┨釤挕胺椒ā,完善“思想”。
三、在學業(yè)評價中注重數(shù)學思想方法的考評
。ㄒ唬┖瘮(shù)方程思想方法
。ǘ⿺(shù)形結合思想方法
。ㄈ┺D化化歸思想方法
。ㄋ模┓诸愑懻撍枷敕椒
。ㄎ澹┨厥馀c一般思想方法等
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