排列組合教案
作為一位無私奉獻的人民教師，編寫教案是必不可少的，通過教案準備可以更好地根據(jù)具體情況對教學進程做適當?shù)谋匾恼{(diào)整。快來參考教案是怎么寫的吧！以下是小編為大家整理的排列組合教案，僅供參考，大家一起來看看吧。
排列組合教案1
教學目標：
知識技能
（1）通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數(shù)。
�。�2）經(jīng)歷探索簡單事物排列的過程。
�。�3）培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，感受教學與生活的緊密聯(lián)系。
過程與方法
經(jīng)歷觀察、比較、自主合作探究等活動，討論事物排列的規(guī)律。
情感態(tài)度與價值觀
讓學生感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和用數(shù)學解決問題的意識。
教學重、難點：
重點：探索簡單事物的排列規(guī)律。
難點：掌握排列不重復不漏掉的方法。
教法與學法：
教法：談話法。
學法：小組研討法。
教學準備：
每組三張數(shù)字卡片、課件。
教學過程：
一、創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣
（課件出示智慧城堡）這節(jié)課我們將在智慧城堡里學習，這是為愛動腦筋的、有智慧的小朋友準備的`，你愛動腦筋嗎？
二、動手操作，探索新知
�。�1）初步感知排列。
（課件出現(xiàn)一把鎖）這是一把密碼鎖，密碼是1和2組成的兩們數(shù)。用1和2能組成幾個兩位數(shù)呢？
指名學生回答。
密碼正確，我們進去吧！歡迎同學們進入智慧城堡！走，我們先去哪好呢？
�。�2）自主探究。
在游樂園里玩是需要游戲卡的，每個游戲都有一張對應的游戲卡，想知道怎樣才能取得游戲卡嗎？
（課件出示：在數(shù)字卡片1、2、3中拿其中兩張，組成一個兩位數(shù)。）同學們大聲地讀一遍。
請同學們擺卡片。
�。�3）匯報結(jié)果。
誰愿意告訴大家你擺了幾個兩位數(shù)？
指名回答。
合作探究排列。
①合作討論。
不重復，不漏掉。
�、谟^察、比較、分析。
③總結(jié)規(guī)律。
三、聯(lián)系生活，應用拓展
�。�1）3名學生在智慧樂準備合影留念，3名同學坐成一排合影，有幾種坐法？（學生操作）
學生展出回答。
�。�2）有3本書，分別是《兒童文學》《數(shù)學趣題》《自然奧秘》，送給小麗、小清和小紅各一本，一共有多少種送法？
�。ㄖ该麑W生說一兩個）
還有嗎？看來有很多種送法，究竟一共有多少種送法呢？拿出學習卡，把你的想法擺出來。
四、課堂小結(jié)
這節(jié)課有趣嗎？說說你學會了什么。
板書設計
排列
用1、2、3三張數(shù)字卡片可以組成6個兩位數(shù)。
方法一：方法二：方法三：
121212
231321
132113
212331
313123
323232
與順序有關，有序思考
課后反思
本節(jié)課我運用了分組合作、共同探究的學習模式，讓學生互相交流，互相溝通。比如“1、2、3這三個數(shù)字可以組成多少個兩位數(shù)”，不是學生一眼就能看出的，一下子就想明白的，它需要認真觀察、思考。因此我要求學生獨立思考、獨立完成，小組合作交流后選擇最佳方案匯報。這就給學生留出了自己動腦思考的空間，再通過小組交流獲得自我表現(xiàn)的機會，實現(xiàn)了信息在群體中多向交流。
同時我也考慮：在本節(jié)課中，很多同學表現(xiàn)非常出色，對這部分學生該怎么處理？在孩子起點高時是否可以讓學生通過這節(jié)課的學習學會對事物進行整合分類？對于有的同學能用簡單符號代替實物的又是否可以要求他們進一步深化理解？這些都是在課堂上沒有深入研究的。
排列組合教案2
教學內(nèi)容背景材料：
義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合
教學目標：
1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。
2、經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。
3、培養(yǎng)學生有序地全面地思考問題的意識。
4、感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和用數(shù)學方法解決問題的意識。
教學重點：
經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。
教學難點：
初步理解簡單事物排列與組合的不同。
教具準備：
乒乓球、衣服圖片、紙箱、每組三張數(shù)字卡片、吹塑紙數(shù)字卡片。
一、情境導入，展開教學
今天，王老師要帶大家去“數(shù)學廣角”里做游戲，可是，我把游戲要用的材料都放在這個密碼包里。你們想解開密碼取出游戲材料嗎？（想）我給大家提供解碼的3個信息。
1． 好，接下來老師提供解碼的第一個信息：密碼是一個兩位數(shù)。（學生在兩位數(shù)里猜）（你們猜的對不對呢？請聽第二個解碼信息）
2． 下面，提供解碼的第二個信息：密碼是由2和7組成的（學生說出27和72）。能說說看你是怎么想的嗎？
3． 下面，提供解碼的第三個信息：剛才說了密碼可能是27也可能是72。其實這個密碼和老師的年齡有關。哪個才是真正的密碼是？（學生說出是27）到底是不是27呢？請看（教師出示密碼）。真的是27，恭喜大家解碼成功！
二、多種活動，體驗新知
1、感知排列
師：請小朋友先到“數(shù)字宮”做個排數(shù)字游戲，好嗎？這有兩張數(shù)字卡片（1 、2）（老師從密碼包里拿出），你能擺出幾個兩位數(shù)？（用數(shù)字卡擺一擺）
生：我擺了兩個不同的數(shù)字12和21。（教師板書）
師：同學們想得真好。我又請來了一位好朋友數(shù)字3，現(xiàn)在有三個數(shù)字1、2、3，讓大家寫兩位數(shù)，你們不會了吧？（會）別吹牛�。ㄕ娴臅┖�，下面大家分組合作，組長記錄�？纯茨銈兡軌�?qū)懗鰩讉�不同的兩位數(shù)，注意不要重復，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數(shù)字卡片擺一擺。好，開始。
學生活動教師巡視并參與學生活動。（學生所寫的個數(shù)可能不一樣，有多有少，找?guī)追葜貜偷幕騻�數(shù)少的展示。）哪組同學來給大家匯報一下。（教師板書結(jié)果。）有沒有需要補充的呀？
2、探討排列方法。
有的小組擺出4個不同的兩位數(shù)，有的小組擺出6個不同的兩位數(shù)，有什么好的方法能保證既不重復，也不漏掉數(shù)呢？還請大家分組討論�？匆豢茨慕M同學的方法最好�。ㄐ〗M討論，分組交流，學生總結(jié)方法。）哪組同學來給大家匯報一下你們的想法？
方法1：我擺出12，然后再顛倒就是21，再擺23，顛倒后就是32，再擺13，顛倒后就是31，一共可以擺出6個兩位數(shù)。
方法2：我先把數(shù)字1放在十位上，然后把數(shù)字2和3分別放在個位組成12和13；我再把數(shù)字2放在十位上，然后把數(shù)字1和3分別放在個位組成21和23 ；我再把數(shù)字3放在十位上，然后把數(shù)字1和2分別放在個位上組成31和32 ，一共擺出了6個兩位數(shù)。3、老師和學生共同評議方法：讓學生選擇自己喜歡的方法再擺一擺，學生試著總結(jié)。（如果學生說不出方法2，老師就直接告訴學生）
3、感知組合。
�、賻煟耗銈冋媸且蝗荷朴趧幽X的好孩子。來，咱們握握手，祝賀祝賀！加油！123
�、谔岢鰡栴}：從大家剛才握手，老師想出了一個數(shù)學問題：三個小朋友，每兩個人只能握一次手，一共要握幾次手呢？想一想！
生1：6次!
生2:4次！
師：到底是幾次呢？請小組長作裁判，小組內(nèi)的三個同學，試一試，到底是幾次？
③學生匯報表演。小組長指揮說明。哪組同學愿意給大家表演一下？他們握手，咱們一起來數(shù)吧！教師引導學生一起數(shù)握手的次數(shù)。（注意握過小朋友一邊休息）
�、軒焼枺篈和B握手了嗎？B和A握手了嗎？這算一次還是兩次呀？
�、菪〗Y(jié)：看來，兩個人相互握手，只能算一次，和順序無關。剛才排數(shù)，交換數(shù)的位置，就變成另一個數(shù)了，這和順序有關。
三、反饋練習，加深理解
下面大家看這是什么呀？（老師從密碼包里拿出一個乒乓球）（乒乓球）這個是我昨天專門買來的。定價5角。當時我的口袋里有1張5 角的、2張2角，還有5個1角的硬幣。（師出示所述人民幣）大家想一想我有多少種方法付給老板錢呢？（老師引導學生有序的說出付錢的四種方法）
有了乒乓球，老師就可以教大家打乒乓球了。不過我要先考考大家。每兩個人進行一場比賽，三個人要比幾場？（指名答。）好的，大家真能干。下課老師就教你們的乒乓球好嗎？（好）。
今天是幾月幾日？（12月1日）哦！快到元旦了。小明準備在數(shù)學廣角舉辦的元旦晚會上露一手。來一個時裝表演。他準備了4件衣服（教師貼出2件上衣和2件褲子），請你幫他設計一下，有幾種穿法？誰來說一說？（指名答出四種穿法并演示）
大家感覺一下只有4種穿法，是不是有點少了呀？（是）小明也和大家想到一塊去了。于是他又用自己的`零花錢買了一條黑褲子（貼出）。大家再想一想現(xiàn)在一共有多少種穿法了呀？（6種）除了剛才的4種，還有哪2種，誰來說一說？（生答完后，老師再引導學生有序地回憶6種穿法）同學們真聰明。我在這里代表小明向大家說一聲：謝謝了�。]關系）。對了。到時候我們一定要去看小明的精彩表演！好不好？（好）
四、游戲活動，拓展應用
1、 老師看大家學得這么開心，我們來做個抽獎游戲，想?yún)⒓訂�？每個小朋友都有中獎的機會哦。
①教師出示4個號球：老師這這里有四個號球：2、5、7、8。
�、谑裁礃拥奶柎a能中獎呢？我給你們透露點信息：中獎號碼就是從這4個數(shù)中選出的兩個數(shù)組成的兩位數(shù)。猜猜，什么號碼可能中獎？這個號碼可能中獎。再猜？你這個號碼也可能中獎�？磥�，可能中獎的號碼有很多個。有什么好辦法肯定能中獎？（把你認為能中獎的號碼都寫出來吧）（把用這四個數(shù)能組成的所有兩位數(shù)都寫出來，教師巡視，有的孩子寫出來8個兩位數(shù)，她還在繼續(xù)寫，看來不止8個。你寫得越多你中獎的可能就越大）
③寫好了嗎？大家推舉一個人來摸獎吧。老師來當公證員行不行？學生先摸出一個球。中獎號碼的最前面一個數(shù)出來了，是2，那中獎號碼可能是？ 25、27、28。再摸一個球。中獎號碼是？
�、苣阒歇劻藛�？把你寫出的這個數(shù)圈出來。同桌互相看看，如果你同位中獎了，請你給他畫一面小紅旗。
�、莩鍪舅薪Y(jié)果：孩子們，你剛才一共寫出了多少個兩位數(shù)？用2、5、7、8能組成的兩位數(shù)究竟有多少個呢？咱們用剛才先固定最前面一位數(shù)的辦法把這些數(shù)都排出來吧！老師寫，你們說，好嗎？
2、老師給今天這節(jié)課表現(xiàn)最好的三位同學一張合影，請同學們想一想，三個人站成一行，一共有多少種不同的排法？（指名答，教師總結(jié)）
這種排法剛才有沒有呀？我也糊涂了。怎樣才能搞清楚呢？對了，我們也可以用剛才先固定最前面一位數(shù)的方法來排一排。（教師引導學生有順序的排一排）這樣有順序的排一下，我們都清楚了�？磥砦覀円院�，不管在生活和學習中，做什么事情，想什么問題都要有順序的思考，這樣才能考慮全面。其實生活中有許多有趣的數(shù)學問題，不管有多難，只要大家肯動腦筋，就一定能解決。對不對？（對）
五、全課總結(jié)，升華情感
在數(shù)學廣角中還有許多地方等著大家去游玩，由于時間關系，今天我們大家就玩到這里。今天你這節(jié)課最高興的是什么事？
六、板書設計
排列組合
1 2 1 2 3 2 5 7 8
12 21 12 23 31 25 27 28
21 32 13 52 57 58
72 75 78
82 85 87
排列組合教案3
教學目標：
1、使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列組合規(guī)律。
2、培養(yǎng)學生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。
3、使學生感受數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際生活中的問題。使學生在數(shù)學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣。
教學過程：
一、創(chuàng)設增境，激發(fā)興趣。
師：今天我們要去"數(shù)學廣角樂園"游玩，你們想去嗎？
二、操作探究，學習新知。
＜一＞組合問題
l、看一看，說一說
師：那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。（課件出示主題圖）
師引導思考：這么多漂亮的衣服，你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢？(指名學生說一說）
2、想一想，擺一擺
（l）引導討論：有這么多種不同的穿法，那怎樣才能做到不遺漏、不重復呢？
�、賹W生小組討論交流，老師參與小組討論。
�、趯W生匯報
（2）引導操作：小組同學互相合作，把你們設計的穿法有序的貼在展示板上。（要求：小組長拿出學具衣服圖片、展示板）
�、賹W生小組合作操作擺，教師巡視參與小組活動。
②學生展示作品，介紹搭配方案。
�、凵ハ嘣u價。
（3）師引導觀察：
第一種方案(按上裝搭配下裝)有幾種穿法？ （４種）
第二種方案(按下裝搭配上裝)有幾種穿法? （４種）
師小結(jié)：不管是用上裝搭配下裝，還是用下裝搭配上裝，只要做到有序搭配就能夠不重復、不遺漏的把所有的方法找出來。在今后的學習和生活中，我們還會遇到許多這樣的'問題，我們都可以運用有序的思考方法來解決它們。
＜二＞排列問題
師：數(shù)學廣角樂園到了，不過進門之前我們必須找到開門密碼。（課件出示課件密碼門）
密碼是由１、２ 、3 組成的兩位數(shù)．
�。�1）小組討論擺出不同的兩位數(shù)，并記下結(jié)果。
�。�2）學生匯報交流（老師根據(jù)學生的回答，點擊課件展示密碼）
（3）生生相互評價。方法一：每次拿出兩張數(shù)字卡片能擺出不同的兩位數(shù)；
方法二：固定十位上的數(shù)字，交換個位數(shù)字得到不同的兩位數(shù)；
方法三：固定個位上的數(shù)字，交換十位數(shù)字得到不同的兩位數(shù)．
師小結(jié)：三種方法雖然不同，但都能正確并有序地擺出６個不同的兩位數(shù)，同學們可以用自己喜歡的方法．
三、課堂實踐，鞏固新知。
�。�、乒乓球賽場次安排。
師：我們先去活動樂園看看，這兒正好有乒乓球比賽呢．（課件出示情境圖）
（l）老師提出要求：每兩個運動員之間打一場球賽，一共要比幾場？
�。�2）學生獨立思考．
�。�3）指名學生匯報．規(guī)
�。病⒙肪�選擇。（課件展示游玩景點圖）
師:我們?nèi)ス珗@看看吧。途中要經(jīng)過游戲樂園。
�。╨）師引導觀察：從活動樂園到游戲樂園有幾條路線？哪幾條？(甲，乙兩條)從游戲樂園去公園有幾條路線？哪幾條？(A，B，C三條)（根據(jù)學生的回答課件展示）
從活動樂園到時公園到底有幾種不同的走法?
�。�2）學生獨立思索后小組交流 。
（3）全班同學互相交流 。
�。场⒄障窕顒�。
師：我們來到公園，這兒的景色真不錯，大家照幾張像吧．
師提出要求：攝影師要求三名同學站成一排照像，每小組根據(jù)每次合影人數(shù)（雙人照或三人照）設計排列方案，由組長作好活動記錄。
�。�1）小組活動，老師參與小組活動 。
�。�2）各小組展示記錄方案 。
�。�3）師生共同評價 。
４、欣賞照片．
師：在同學們照像的同時，小麗一家三口人也正在照像呢，看看她們是怎樣照的．（課件展示照片集欣賞）
四、總結(jié)
今天的游玩到此結(jié)束，同學們互相握手告別好嗎？如果小組里的四個同學每兩人握一次手，一共要握幾次手？
排列組合教案4
教學內(nèi)容：
簡單的排列組合
教學目標：
1．使學生通過觀察、猜測、實驗、驗證等活動，找出簡單事件的排列數(shù)或組合數(shù)。
2．培養(yǎng)學生有序地、全面地思考問題的意識和習慣。
教學過程：
1．借助操作活動或?qū)W生易于理解的事例來幫助學生找出組合數(shù)。師生共同分析練習二十五第1題。讓學生小組討論，充分發(fā)表自己的意見。
2．利用直觀圖示幫助學生有序地、不重不漏地找出早餐搭配的組合數(shù)。
3、出示練習二十五第3題。
學生看題后，四人小組討論出有多少種求組合數(shù)的方法。
4、學生匯報。
�。�1）圖示表示法（兩種）。引導學生用畫簡圖的方式來表示抽象的數(shù)學知識。
（2）其他的方法，例如聰聰或明明分別可以和每一個小朋友合影（分步時，可以把確定聰聰作為第一步，也可以把確定明明作為第一步），教學時充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造性。至于學生用哪種方法求出來，都沒關系。但要引導學生思考如何才能不重不漏，發(fā)展學生有序地思考問題的意識和能力。
�。�3）學生自己用圖示表示時，可以很開放，比如，可以用正方形表示聰聰，圓形表示明明，并分別在正方形和圓形里標上序號。實際這是發(fā)展學生用數(shù)學化的符號表示具體事件的能力的一個體現(xiàn)。
�。�4）如果學生用簡圖的方式來表示有困難，也可以讓學生回憶一下二年級上冊的例子或借助學具卡片擺一擺。
2．“做一做”
（1）練習二十五第7題。
通過活動的方式讓學生不重不漏地把所有取錢的'情況寫出來。
（2）練習二十五第9題。
用兩種圖示法表示兩兩組合的方式（比較簡單的兩種方式）。在教學中也要允許有的學生把所有的情況逐一羅列出來，只要他通過自己的方法探索出所有的組合數(shù)，都是應該鼓勵的。
教學反思：
排列組合教案5
一．課標要求：
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題；
2．排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題；
3．二項式定理
能用計數(shù)原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
二．命題走向
本部分內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內(nèi)容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和。
排列、組合不僅是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。
考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。
三．要點精講
1．排列、組合、二項式知識相互關系表
2．兩個基本原理
�。�1）分類計數(shù)原理中的分類；
�。�2）分步計數(shù)原理中的分步；
正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。
3．排列
�。�1）排列定義，排列數(shù)
�。�2）排列數(shù)公式：系= =n·（n－1）…（n－m+1）；
（3）全排列列：=n��；
（4）記住下列幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
�。�1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；
�。�2）組合數(shù)公式：Cnm= =；
�。�3）組合數(shù)的性質(zhì)
①Cnm=Cnn—m；②；③rCnr=n·Cn—1r—1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0—Cn1+…+（—1）nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n—1；
5．二項式定理
�。�1）二項式展開公式：（a+b）n=Cn0an+Cn1an—1b+…+Cnkan—kbk+…+Cnnbn；
�。�2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan—kbk；
6．二項式的應用
�。�1）求某些多項式系數(shù)的和；
�。�2）證明一些簡單的組合恒等式；
�。�3）證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；
�。�4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
�、伲�1+x）n≈1+nx；②（1+x）n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。
四．典例解析
題型1：計數(shù)原理
例1．完成下列選擇題與填空題
�。�1）有三個不同的信箱，今有四封不同的`信欲投其中，則不同的投法有種。
A．81 B．64 C．24 D．4
�。�2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（）
A．81 B．64 C．24 D．4
�。�3）有四位學生參加三項不同的競賽，
�、倜课粚W生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有；
�、诿宽椄傎愔辉S有一位學生參加，則有不同的參賽方法有；
�、勖课粚W生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有。
例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。
點評：分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數(shù)學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡，達到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．（1）（20xx四川理卷13）
展開式中的系數(shù)為？______ _________。
【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數(shù)，以及組合思想；
�。�2）．20xx湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練
若n展開式中含項的系數(shù)與含項的系數(shù)之比為－5，則n等于（）
A．4 B．6 C．8 D．10
點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。
例4．（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個（用數(shù)字作答）；
�。�2）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）。
點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．荊州市20xx屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測（Ⅱ）
�。�1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數(shù)為（C）A。3 B。6 C。12 D。18
�。�2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）
A．10種B．20種C．36種D．52種
點評：計數(shù)原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數(shù)原理結(jié)合
例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；
�。�2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）
�。ˋ）150種（B）180種（C）200種（D）280種
點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數(shù)（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。
點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。
點評：本題是1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0。37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復的直線。
題型5：二項式定理
例9．（1）（20xx湖北卷）
在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有
A．3項B．4項C．5項D．6項
�。�2）的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是
�。ˋ）0（B）2（C）4（D）6
點評：多項式乘法的進位規(guī)則。在求系數(shù)過程中，盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別，盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令。在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別。
例10．（20xx湖南文13）
記的展開式中第m項的系數(shù)為，若，則=____5______。
題型6：二項式定理的應用
例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；
�。�2）7n+Cn17n—1+Cn2·7n—2+…+Cnn—1×7除以9，得余數(shù)是多少？
�。�3）根據(jù)下列要求的精確度，求1。025的近似值。①精確到0。01；②精確到0。001。
點評：（1）用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當?shù)夭鸪蓛身椫突蛑钤侔炊検蕉ɡ碚归_推得所求結(jié)論；
�。�2）用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。
五．思維總結(jié)
解排列組合應用題的基本規(guī)律
1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯(lián)合使用。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
�。�1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
�。�2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
�。�3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。
4．對解組合問題，應注意以下三點：
�。�1）對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎悖墙饨M合題的常用方法；
�。�2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
�。�3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。
排列組合教案6
教學目標
�。�1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
�。�2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；
�。�3）掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù)；
（4）會分析與數(shù)字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；
（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運用這個公式去解決有關排列數(shù)的應用問題。難點是導出排列數(shù)的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。
從n個不同元素中任�。ā躰）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數(shù)是指從n個不同元素中任�。ā躰）個元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數(shù)。排列與排列數(shù)是兩個概念，前者是具有個元素的排列，后者是這種排列的不同種數(shù)。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數(shù)，就是相應的排列數(shù)。
公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導。
排列的應用題是本節(jié)教材的.難點，通過本節(jié)例題的分析，應注意培養(yǎng)學生解決應用問題的能力。
在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用。
在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
�、僭谥v解排列數(shù)的概念時，要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中，任取出個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)。例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號表示排列數(shù)。
�、谂帕械亩x中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。
從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別。
在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列。
要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題。
�、坳P于排列數(shù)公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的
導出公式后要分析這個公式的構(gòu)成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“”比較復雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數(shù)是n，后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是，共個因數(shù)相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數(shù)是什么？最后一個因數(shù)是什么？一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘。
公式是在引出全排列數(shù)公式后，將排列數(shù)公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點：（1）在一般情況下，要計算具體的排列數(shù)的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；（2）為使這個公式在時也能成立，規(guī)定，如同時一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋。
�、芙ㄗh應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解。
⑤學生在開始做排列應用題的作業(yè)時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學生得更加扎實。隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。
教學設計示例
排列
教學目標
�。�1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
（2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；
�。�3）會分析與數(shù)字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；
教學重點難點
重點是排列的定義、排列數(shù)并運用這個公式去解決有關排列數(shù)的應用問題。
難點是解有關排列的應用題。
教學過程設計
一、復習引入
上節(jié)課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：
1。書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書。
�。�1）從中任取1本，有多少種取法？
（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？
2。某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區(qū)？
找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程
第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40=90。第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是： 50×40=20xx。
第2題說，共有A，B，C三個優(yōu)良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所以共需3×5=15個實驗小區(qū)。
二、講授新課
學習了兩個基本原理之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)學習排列問題，這是我們本節(jié)討論的重點。先從實例入手：
1。北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？
由學生設計好方案并回答。
�。�1）用加法原理設計方案。
首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票。
（2）用乘法原理設計方案。
首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經(jīng)選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選。那么，根據(jù)乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。
根據(jù)以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票
再看一個實例。
在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？
找學生談自己對這個問題的想法。
事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數(shù)，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù)。
首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；
其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。
根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：3×2×1=6（種）。
根據(jù)學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況。（包括每個位置情況）
第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來。
由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？寫出這些所有的三位數(shù)。
根據(jù)乘法原理，從四個不同的數(shù)字中，每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24（個）。
請板演的學生談談怎樣想的？
第一步，先確定百位上的數(shù)字。在1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個，有4種取法。
第二步，確定十位上的數(shù)字。當百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù)字去取，有3種方法。
第三步，確定個位上的數(shù)字。當百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個位上的數(shù)字只能從余下的兩個數(shù)字中去取，有2種方法。
根據(jù)乘法原理，所以共有4×3×2=24種。
下面由教師提問，學生回答下列問題
�。�1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方？
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象。
（2）取出的這些研究對象又做些什么？
實質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。
�。�3）請大家看書，第×頁、第×行。我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素。
上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法。
第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法。
第三個問題呢？
從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法。
給出排列定義
請看課本，第×頁，第×行。一般地說，從n個不同的元素中，任�。ā躰）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列。
下面由教師提問，學生回答下列問題
�。�1）按著這個定義，結(jié)合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？
從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列。
如第一個問題中，北京—廣州，上�！獜V州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列。
再如第一個問題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列。
（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數(shù)？
生：“一個排列”不應當是一個數(shù)，而應當指一件具體的事。如飛機票“北京—廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列。如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號。只問種數(shù)，不用把所有情況羅列出來，才是一個數(shù)。前面提到的第三個問題，實質(zhì)上也是這樣的
三、課堂練習
大家思考，下面的排列問題怎樣解？
有四張卡片，每張分別寫著數(shù)碼1，2，3，4。有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）
分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題。
解法是：第一步把數(shù)碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱。
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：
所以，共有9種放法。
四、作業(yè)
課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7。
數(shù)學教案—排列教學目標
排列組合教案7
【背景】
為了進一步提高堂效率，提升學生學習力，逐步落實數(shù)學堂與“學習力”相結(jié)合的自學為主堂教學模式，提升青年教師的整體素質(zhì)，進步培養(yǎng)青年教師良好的教學能力。我們二年級數(shù)學組于XX年10月開展了全員賽活動，并取得了良好效果。本篇教案集授教師努力及組內(nèi)教師智慧，較能體現(xiàn)學校的主流教學模式，是一篇優(yōu)秀的案例。
【教材簡析】
本節(jié)的內(nèi)容是數(shù)學二年級上冊數(shù)學廣角例1簡單的排列與組合。排列和組合的思想方法應用得很廣泛，是學生學習概率統(tǒng)計的知識基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，本教材在滲透這一數(shù)學思想方法時就做了一些探索，把它通過學生日常生活中最簡單的事例呈現(xiàn)出來。
教材的例1通過2個卡片的排列順序不同，表示不同的兩位數(shù)，屬于排列知識，而簡單的排列組合對二年級學生來說都早有不同層次的接觸，如用1、2兩個數(shù)字卡片來排兩位數(shù)，學生在一年級時就已經(jīng)掌握了。而對1、2、3三個數(shù)字排列成幾個兩位數(shù)，也有不少學生通過平時的益智游戲都能做到不重復、不遺漏地排列。針對這些實際情況，在設計本節(jié)時，根據(jù)學生的年齡特點處理了教材。整堂堅持從低年級兒童的實際與認知出發(fā)，以“感受生活化的數(shù)學”和“體驗數(shù)學的生活化”這一教學理念，結(jié)合實踐操作活動，讓學生在活動中學習數(shù)學，體驗數(shù)學。
【教學目標】
1．通過觀察、實驗等活動，使學生找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)，初步經(jīng)歷簡單的排列和組合規(guī)律的探索過程；
2．使學生初步學會排列組合的簡單方法，鍛煉學生觀察、分析和推理的能力；
3．培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，通過小組合作探究的學習形式，養(yǎng)成與人合作的良好習慣。
【教學重點】
經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程
【教學難點】
初步理解簡單事物排列與組合的不同
【教學準備】
多媒體、數(shù)字卡片。有關北京景色的、生字詞卡。
【課前預習】
預習數(shù)學書99頁，思考以下問題
1、用1、2兩個數(shù)字能擺出哪些兩位數(shù)？
2、用1、2、3這3個數(shù)字能擺出哪些兩位數(shù)？可以動手寫一寫。
3、想一想：你是怎么擺的，先擺什么，再擺什么？有什么好方法才會不遺漏，不重復。
【教學過程】
1、合作探究排列
師：同學們，請看這就是數(shù)學廣角樂園，數(shù)學廣角里給我們準備了這么多的闖關游戲，敢不敢試一試？（不怕）你們真是勇敢的好孩子。咱們先來創(chuàng)第一關。
�。ǔ鍪荆河脭�(shù)字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數(shù)呢？）
師：第一關，用數(shù)字卡片1、2、3可以擺成幾個不同的兩位數(shù)呢？
生匯報。對不對呢?我們來驗證一下，聽清要求。
同桌合作，一人擺數(shù)字卡片，一人把擺好的數(shù)記錄下來，寫好馬上做好，比比哪桌合作得又好又快。
實際操作，教師巡視。
板演反饋，同時匯報不同的擺法和想法。
無順序的匯報→正確的匯報→比較方法→學生說方法→師板書→起名稱
師：請把你寫出的兩位數(shù)讀出來（無序→正確，師板書，），比較一下誰的更全面一些？（提問其他的答案），為什么XX同學沒有完全擺對而這名同學卻擺得這么準呢？他有什么訣竅嗎？（生邊回答師邊數(shù)字板演示，并進行板書）
師：誰能給這個方法起一個名字呢？
誰還有其它的`方法要介紹給大家？
象這樣因為數(shù)字的位置不同而拼組出了不同的兩位數(shù)，這樣的問題在數(shù)學上就叫排列。
師：大家都采用各種方法擺出了6個不同的兩位數(shù)。真了不起�。〗窈笪覀冊谂帕袛�(shù)的時候，要想既不重復也不漏掉，就必須要按照一定的規(guī)律進行。順利過關，進入下一關
2、感知組合
師：同學們，第二關問題是：如果三個人握手，每兩個人握一次，三人一共要握多少次呢？
師：大家看，我在和他握手，他也在和我握手，不管我們的位置如何變化只要我們的手不松開我們兩個人就是只握了一次手。
那三個人握手到底要握幾次？以小組為單位，組長記錄次數(shù)，其他三人演示，看看每兩個人握一次手，三個人一共要握手多少次？
師：兩個人握一次手，三人一共要握3次手。
�。ò鍟故疚帐诌^程）
3、對比思考——追尋本質(zhì)
師：老師現(xiàn)在有一個疑問，排數(shù)字卡片時用3個數(shù)可以擺出6個數(shù)，握手時3個同學卻只能握3次，都是3，為什么出現(xiàn)的結(jié)果會不一樣呢？
結(jié)論：擺數(shù)與順序有關，握手與順序無關。
擺數(shù)可以交換位置，而握手交換位置沒用。
【反思】
本節(jié)體現(xiàn)了兩個特色
1、預設有效問題是進行數(shù)學思維的關鍵
“思”源于“問題”，要通過“問題解決”使兒童獲得知識、方法、能力及思想上的全面發(fā)展，首先要有一個好“問題”。因為學生數(shù)學思考的形成就是借助于對這些“問題”的思考及通過對這些問題的解決過程之中。在這節(jié)中，在每一個活動之前，教師都為學生創(chuàng)設了一個感興趣的，具有現(xiàn)實意義的問題：“用1、2、3這三個數(shù)字，可以編出幾個兩位數(shù)呢？”、“三個人每兩人互相握一次手，一共要握幾次手？”只有面對這樣的好“問題”，學生才能自覺的全身心地投入到問題解決之中，才能通過對這些問題的分析、比較，對這些規(guī)律的觀察、感悟，對所得結(jié)論的描述、解釋。而這一過程又正是學生形成數(shù)學思考的過程。
2、逐步感悟有序思維的必要性
有序思維在日常生活中有著廣泛的用途，讓學生通過學習逐步感悟到有序思維的必要性就顯得猶為重要了。用1、2、3這三個數(shù)字，可以編出幾個兩位數(shù)，讓學生非常自然地、主動地進行猜數(shù)，并產(chǎn)生怎樣思考才能既不重復也不遺漏的問題，激發(fā)學生的學習興趣。接著，通過學生獨立思考“用1、2、3寫（擺）兩位數(shù)”引導學生根據(jù)自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，尊重學生的個性差異，使每個學生在原有基礎上得到完全、自由的發(fā)展，初步感悟有序的寫（擺）；交流討論，再說一說你是怎么寫（擺）的，它好在哪里？等問題，促使學生去觀察、去發(fā)現(xiàn)，促進了學生對其隱藏著的數(shù)學思想的領悟、認識；最后通過全班交流，引導學生得到了兩種基本的排序方法（列表法和圖示法），進一步體驗到按一定的順序思考的價值并初步掌握方法。最后，抓住鼓勵表揚的握手游戲這一契機，突破教學的難點（初步理解簡單事物排列與組合的不同）讓學生通過猜一猜、演一演等形式，使他們對其規(guī)律進行本質(zhì)的探究，在活動中體驗感受排列與組合的不同。這里，學生經(jīng)歷了猜想、驗證、反思等一系列探索活動，體會到思之要有“據(jù)”、思之要有“理”、思之要有“序”，這不僅是讓學生在活動中學會思考，更是讓學生在探究活動中學會科學的探究方法。
這節(jié)注重了排列組合的有序性，而對排列組合的合理性詮釋得還不夠到位。還有些堂上的動態(tài)生成的資源捕捉利用不夠及時到位等等。我想這在以后教學中還應多反思，多注意的。
排列組合教案8
【背景】
在日常生活中，有很多需要用排列組合解決的知識。如體育中足球、乒乓球的比賽場次，密碼箱中密碼的排列數(shù)，電話機容量超過多少電話號碼就要升位等。在數(shù)學學習中經(jīng)常要用到推理，如加法和乘法的一些運算定律的推導過程，能被2、5、3整除的數(shù)的推導等。這節(jié)課安排生動有趣額活動，讓學生通過這些活動進行學習。例1給出了一副學生用數(shù)學卡片擺兩位數(shù)的情境圖，學生在進行小組合作學習，先用2個卡片擺，學生通過操作感受擺的方法以后，再用3個卡片擺；然后小組交流擺卡片的體會：怎樣擺才能保證不重復、不遺漏。
【教材分析】
“數(shù)學廣角”是新編實驗教材新增設的內(nèi)容，是新教材在向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法方面做出的新的嘗試。排列和組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是學生學習概率統(tǒng)計的知識基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，這部分內(nèi)容重在向?qū)W生滲透簡單的排列、組合的數(shù)學思想方法，并初步培養(yǎng)學生有順序地全面思考問題的意識。
【教學目標】
1．通過觀察、實驗等活動，使學生找出最簡單的事物的`排列數(shù)和組合數(shù)，初步經(jīng)歷簡單的排列和組合規(guī)律的探索過程；
2．使學生初步學會排列組合的簡單方法，鍛煉學生觀察、分析和推理的能力；
3．培養(yǎng)學生有序、全面思考問題的意識，通過小組合作探究的學習形式，養(yǎng)成與人合作的良好習慣。
【教學重點】
經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程
【教學難點】
初步理解簡單事物排列與組合的不同
【教學準備】
多媒體、數(shù)字卡片。
【教學方法】
觀察法、動手操作法、合作探究法等。
【課前預習】
預習數(shù)學書99頁，思考以下問題：
1、用1、2兩個數(shù)字能擺出哪些兩位數(shù)？
2、用1、2、3這3個數(shù)字能擺出哪些兩位數(shù)？可以動手寫一寫。
3、想一想：你是怎么擺的，先擺什么，再擺什么？有什么好方法才會不遺漏，不重復。
【教學準備】
PPT
【教學過程】
……
一、以游戲形式引入新課
師：同學們，今天老師帶大家去數(shù)學廣角做游戲。在門口設置了?，?上有密碼。這個密碼盒的密碼是由數(shù)字1、2組成的一個兩位數(shù)，想不想進去呢？
師：誰告訴老師密碼，幫老師打開這個密碼盒？（生嘗試說出組成的數(shù)）
生：12、21
師：打開密碼盒
師：打開了密碼鎖，進入數(shù)學廣角樂園。一關一關的進行闖關活動。第一關：1、2、3能擺出哪些兩位數(shù)？第二關：如果3人見面，每兩個人握一次手，一共要握幾次手？
�。ㄔO計意圖：不拘泥于教材，創(chuàng)設學生感興趣的游戲引入新課，引起學生的共鳴。同時又滲透了簡單組合及根據(jù)實際情況合理選擇方法的數(shù)學思想，起到了一舉兩得的作用。）
二、游戲闖關活動對比
師：老師現(xiàn)在有一個疑問，排數(shù)字卡片時用3個數(shù)可以擺出6個數(shù)，握手時3個同學卻只能握3次，都是3，為什么出現(xiàn)的結(jié)果會不一樣呢？
結(jié)論：擺數(shù)與順序有關，握手與順序無關。
擺數(shù)可以交換位置，而握手交換位置沒用。
�。ㄔO計意圖：以相同數(shù)量進行對比，為什么數(shù)字要比握手多一半呢？引發(fā)學生知識沖突從而引發(fā)思考，激發(fā)學生的求知欲。）
三、應用拓展，深化探究
1、數(shù)字宮
師：第三關現(xiàn)在我們?nèi)ツ抢锿婺�？我們一起看看�?/p>
從0、4、6中選擇兩個數(shù)字排成兩位數(shù)，有幾種排法？
總結(jié)：為什么和上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)果不一樣呢？問題出在誰的身上呢？（0）
為什么？（0不能做一個數(shù)的第一位）
2、選擇線路
師：同學們，米老鼠帶我們欣賞完數(shù)學廣角，準備回家了，有幾條路供它選擇？演示：
問題：數(shù)學城堡到家里，到底有幾種走法呢？
（1）分組討論。
（2）學生匯報，教師演示。
�。�3）板書：A——C A——D A——E B——C B——D B——E
�。ㄔO計意圖：題目層次性強，與生活聯(lián)系密切。不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，人人學有價值的數(shù)學。）
【反思】
本節(jié)課的設計做到了以下幾個亮點突破：
1、創(chuàng)設游戲情境，激發(fā)學生探究的興趣。
整課節(jié)始終用創(chuàng)設的游戲情境吸引學生主動參與激發(fā)積極性。我設計了：門上的鎖密碼是多少？本節(jié)課通過闖關游戲創(chuàng)設“數(shù)字排列”中有趣的數(shù)字排列，激發(fā)了學生解決問題的探究欲望。又如通過創(chuàng)設“握手活動”與學生的實際生活相似的情境，喚起了學生“獨立思考、合作探究”解決問題的興趣。
2、課堂中始終體現(xiàn)以學生為主體、合作學習。
“自主、探究、合作學習”是新課程改革特別提倡的學習方式。本節(jié)課設計時，注意選則合作的時機與形式，讓學生合作學習。在教學關鍵點時，為了使每一位學生都能充分參與，我選擇了讓學生同桌合作；在解決重難點時，我選擇了學生六人小組的合作探究。在學生合作探究之前，都提出明確的問題和要求，讓學生知道合作學習解決什么問題。在學生合作探究中，盡量保證了學生合作學習的時間，并深入小組中恰當?shù)亟o予指導。合作探究后，能夠及時、正確的評價，適時激發(fā)學生學習的積極性和主動性。
3、讓學生在豐富多彩的教學活動中領悟新知。
本課通過組織學生主動參與多種教學活動，充分調(diào)動了學生的多種感悟協(xié)調(diào)合作，既讓學生感悟了新知，又體驗到了成功，獲取了數(shù)學知識，真正體現(xiàn)了學生在課堂教學中的主體地位。
排列組合教案9
求解排列應用題的主要方法：
直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算;
優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法：把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法：對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。
間接法：正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法。
例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：
(1) 全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置;
(2) 全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊;
(3) 全體排成一行，其中男生必須排在一起;
(4) 全體排成一行，男生不能排在一起;
(5) 全體排成一行，男、女各不相鄰;
(6) 全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變;
(7) 全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人;
(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法。
某班有54位同學，正、副班長各1名，現(xiàn)選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況中 ，各有多少種不同的`選法?
(1)無任何限制條件;
(2)正、副班長必須入選;
(3)正、副班長只有一人入選;
(4)正、副班長都不入選;
(5)正、副班長至少有一人入選;
(5)正、副班長至多有一人入選;
6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：
(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本;
(2)分為三份，每份2本;
(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本;
(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;
(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少1本
例2、(1)10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少
一個，共有多少種不同的分配方法?
(2)10個優(yōu)秀指標分配到1、2、 3三個班，若名
額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法?
.(1)四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共
有多少種不同的放法?
(2)四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空
盒的放法有多少種?
排列組合教案10
一、教學目標
知識目標:通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。
能力目標:經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程，培養(yǎng)學生有順序地、全面思考問題的意識。
情感價值觀目標:讓學生感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和用數(shù)學解決問題的意識。
二、教學重難點
教學重點：經(jīng)歷探索簡單事物排列與組合規(guī)律的過程。突破方法：通過創(chuàng)設情境，自主探究突破重點。教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同。突破方法：通過合作交流、探討突破難點。
三、教學準備
課件、數(shù)字卡片、數(shù)位表格
四、教學方法與手段
1.從生活情景出發(fā)，結(jié)合學生感興趣的.動畫故事為學生創(chuàng)設探究學習的情境。
2.采用觀察法、操作法、探究法、講授法、演示法等教學方法，通過讓學生動手操作、獨立思考和開展小組合作交流活動，完善自己的想法，努力構(gòu)建學生獨特的學習方式。
3.通過靈活、有趣的練習，如：握手、拍照等游戲，提高學生解決問題的能力，同時尋求解決問題的多種辦法。
五、教學過程
（一）創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣
1.故事導入：灰太狼抓走了美羊羊，為了阻止喜洋洋來救，設置了門鎖密碼，要想闖關成功，要了解一個知識—搭配，揭示課題。
2.猜一猜第一關的密碼是由
1、2兩個數(shù)字組成的兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大，這個密碼可能是多少？
（二）動手操作，探索新知
1.過渡談話，引出例1灰太狼增加了難度，在第二關設置了超級密碼鎖，密碼是
1、2和3組成的兩位數(shù)，每個兩位數(shù)的十位數(shù)和個位數(shù)不能一樣，能組成幾個兩位數(shù)？”（課件出示例1）
2.嘗試學習，自主探究
（1）引導理清題意：你都知道了什么
�。�2）指導學法：你有什么辦法解決這個問題？
�。�3）動手操作：分發(fā)3張數(shù)字卡片，任意選取其中兩張擺一擺，組成不同的兩位數(shù)。鼓勵學生動腦，找規(guī)律去擺，比一比誰擺的數(shù)多而不重復。
3.小組交流，展示成果
（1）小組交流：學生自主擺完后，小組交流討論，探討排列的方法。
（2）展示成果：指名上黑板展示。
4.交流擺法，總結(jié)規(guī)律
�、俳粨Q位置：有順序的從這3個數(shù)字中選擇2個數(shù)字，組成兩位數(shù)，再把位置交換，又組成另外一個兩位數(shù)
�、诠潭ㄊ唬合却_定十位，再將個位變動。 ③固定個位：先確定個位，再將十位變動。 小結(jié)：以上這些辦法很有規(guī)律，他們的好處：不重復，不遺漏，有順序。
5.區(qū)分排列和組合
握手游戲：每兩個人握一次手，3個人握幾次手？
這些與順序有關的問題，我們叫排列。與順序無關的問題，我們叫組合。
（三）應用拓展，深化方法
1.任務一：比一比誰最快。
2.任務二：購物小超市，買一個拼音本，可以怎樣付錢？
3.任務三：涂顏色（教材97頁“做一做”）
學生獨立思考，動手完成涂色。
4.任務四：搭配衣服。
5.組詞：“讀、好、書”一共有幾種讀法？
（四）總結(jié)延伸，暢談感受
今天這節(jié)課有趣嗎？同學們在數(shù)學廣角里學到了什么？你有什么收獲？以后在解決這類問題時應注意什么？
（五）課后作業(yè)
拍照游戲，3個人站一起拍照有幾種站法？4個人呢？
六、板書設計
排列與組合1、2 —— 12 21
1、
2、3 ——12 21 23 32 13 31 12 13 21 23 31 32 21 31 12 32 13 23
排列組合教案11
教學目標
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;
(3)掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列數(shù);
(4)會分析與數(shù)字有關的排列問題,培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過對排列應用問題的學習,讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運用這個公式去解決有關排列數(shù)的應用問題.難點是導出排列數(shù)的公式和解有關排列的應用題.突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用,并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中.
從n個不同元素中任取(≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個不同元素中任取個元素的一個排列.因此,兩個相同排列,當且僅當他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個不同元素中任取(≤n)個元素的所有不同排列的種數(shù),只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計算相應的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個概念,前者是具有個元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看,從n個元素的有限集中取出個組成的有序集,相當于一個排列,而這種有序集的個數(shù),就是相應的排列數(shù).
公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好 的推導.
排列的應用題是本節(jié)教材的難點,通過本節(jié)例題的分析,應注意培養(yǎng)學生解決應用問題的能力.
在分析應用題的解法時,教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學上要充分利用,要求學生作題時也應盡量采用.
在教學排列應用題時,開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明,防止單純的只寫一個排列數(shù),這樣可以培養(yǎng)學生的分析問題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
�、僭谥v解排列數(shù)的概念時,要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中,任取出個元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).例如,從3個元素a,b,c中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
其中每一種都叫一個排列,共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù),符號 表示排列數(shù).
�、谂帕械亩x中包含兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.
從定義知,只有當元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說與位置有關,在實際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點要特別注意,這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別.
在排列的定義中 ,如果 有的書上叫選排列,如果 ,此時叫全排列.
要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復排列問題.
�、坳P于排列數(shù)公式的推導的教學.公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法,先推導 ,…,再推廣到 ,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學生是不難理解的.
導出公式 后要分析這個公式的構(gòu)成特點,以便幫助學生正確地記憶公式,防止學生在“n”、“”比較復雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話:“其中,公式右邊第一個因數(shù)是n,后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是 ,共個因數(shù)相乘.”這實際是講三個特點:第一個因數(shù)是什么?最后一個因數(shù)是什么?一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式 是在引出全排列數(shù)公式 后,將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點:(1)在一般情況下,要計算具體的排列數(shù)的值,常用前一個公式,而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關的論證,要用到這個公式,教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使這個公式在 時也能成立,規(guī)定 ,如同 時 一樣,是一種規(guī)定,因此,不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
�、芙ㄗh應充分利用樹形圖對問題進行分析,這樣比較直觀,便于理解.
�、輰W生在開始做排列應用題的作業(yè)時,應要求他們寫出解法的簡要說明,而不能只列出算式、得出答數(shù),這樣有利于學生得更加扎實.隨著學生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.
教學設計示例
排列
教學目標
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;
(3)會分析與數(shù)字有關的排列問題,培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力;
教學重點難點
重點是排列的定義、排列數(shù)并運用這個公式去解決有關排列數(shù)的應用問題。
難點是解有關排列的應用題。
教學過程設計
一、 復習引入
上節(jié)課我們學習了兩個基本原理,請大家完成以下兩題的練習(用投影儀出示):
1.書架上層放著50本不同的社會科學書,下層放著40本不同的自然科學的書.
(1)從中任取1本,有多少種取法?
(2)從中任取社會科學書與自然科學書各1本,有多少種不同的取法?
2.某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A,B,C,計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗,問共需安排多少個試驗小區(qū)?
找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程
第1(1)小題從書架上任取1本書,有兩類辦法,第一類辦法是從上層取社會科學書,可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學書,可以從40本中任取1本,有40種方法.根據(jù)加法原理,得到不同的取法種數(shù)是50+40=90.第(2)小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本(共取出2本),可以分兩個步驟完成:第一步取一本社會科學書,第二步取一本自然科學書,根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是: 50×40=20xx.
第2題說,共有A,B,C三個優(yōu)良品種,而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū),在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所以共需3×5=15個實驗小區(qū).
二、 講授新課
學習了兩個基本原理之后,現(xiàn)在我們繼續(xù)學習排列問題,這是我們本節(jié)討論的重點.先從實例入手:
1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線,需要準備多少種不同飛機票?
由學生設計好方案并回答.
(1)用加法原理設計方案.
首先確定起點站,如果北京是起點站,終點站是上�；驈V州,需要制2種飛機票,若起點站是上海,終點站是北京或廣州,又需制2種飛機票;若起點站是廣州,終點站是北京或上海,又需要2種飛機票,共需要2+2+2=6種飛機票.
(2)用乘法原理設計方案.
首先確定起點站,在三個站中,任選一個站為起點站,有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站,當選定起點站后,再確定終點站,由于已經(jīng)選了起點站,終點站只能在其余兩個站去選.那么,根據(jù)乘法原理,在三個民航站中,每次取兩個,按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種.
根據(jù)以上分析由學生(板演)寫出所有種飛機票
再看一個實例.
在航海中,船艦常以“旗語”相互聯(lián)系,即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時升起表示一定的信號,問這樣總共可以表示出多少種不同的信號?
找學生談自己對這個問題的想法.
事實上,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號,所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數(shù),也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù).
首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個,有3種方法;
其次,確定中間位置的.旗子,當最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取,有2種方法.剩下那面旗子,放在最低位置.
根據(jù)乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是:3×2×1=6(種).
根據(jù)學生的分析,由另外的同學(板演)寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況.(包括每個位置情況)
第三個實例,讓全體學生都參加設計,把所有情況(包括每個位置情況)寫出來.
由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)?寫出這些所有的三位數(shù).
根據(jù)乘法原理,從四個不同的數(shù)字中,每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24(個).
請板演的學生談談怎樣想的?
第一步,先確定百位上的數(shù)字.在1,2,3,4這四個數(shù)字中任取一個,有4種取法.
第二步,確定十位上的數(shù)字.當百位上的數(shù)字確定以后,十位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù)字去取,有3種方法.
第三步,確定個位上的數(shù)字.當百位、十位上的數(shù)字都確定以后,個位上的數(shù)字只能從余下的兩個數(shù)字中去取,有2種方法.
根據(jù)乘法原理,所以共有4×3×2=24種.
下面由教師提問,學生回答下列問題
(1)以上我們討論了三個實例,這三個問題有什么共同的地方?
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.
(2)取出的這些研究對象又做些什么?
實質(zhì)上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況.
(3)請大家看書,第×頁、第×行. 我們把被取的對象叫做雙元素,如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素.
上面第一個問題就是從3個不同的元素中,任取2個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來又寫出所有排法.
第二個問題,就是從3個不同元素中,取出3個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少排法和寫出所有排法.
第三個問題呢?
從4個不同的元素中,任取3個,然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫出所有的排法.
給出排列定義
請看課本,第×頁,第×行.一般地說,從n個不同的元素中,任取(≤n)個元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列.
下面由教師提問,學生回答下列問題
(1)按著這個定義,結(jié)合上面的問題,請同學們談談什么是相同的排列?什么是不同的排列?
從排列的定義知道,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個條件中,只要有一個條件不符合,就是不同的排列.
如第一個問題中,北京—廣州,上海—廣州是兩個排列,第三個問題中,213與423也是兩個排列.
再如第一個問題中,北京—廣州,廣州—北京;第二個問題中,紅黃綠與紅綠黃;第三個問題中231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個排列.
(2)還需要搞清楚一個問題,“一個排列”是不是一個數(shù)?
生:“一個排列”不應當是一個數(shù),而應當指一件具體的事.如飛機票“北京—廣州”是一個排列,“紅黃綠”是一種信號,也是一個排列.如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問種數(shù),不用把所有情況羅列出來,才是一個數(shù).前面提到的第三個問題,實質(zhì)上也是這樣的.
三、 課堂練習
大家思考,下面的排列問題怎樣解?
有四張卡片,每張分別寫著數(shù)碼1,2,3,4.有四個空箱,分別寫著號碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內(nèi),每箱必須并且只能放一張,而且卡片數(shù)碼與箱子號碼必須不一致,問有多少種放法?(用投影儀示出)
分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個附有條件的排列問題.
解法是:第一步把數(shù)碼卡片四張中2,3,4三張任選一個放在第1空箱.
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:
所以,共有9種放法.
四、作業(yè)
課本:P232練習1,2,3,4,5,6,7.
數(shù)學教案-排列教學目標
排列組合教案12
數(shù)學廣角是義務教育課程標準實驗教科書二年級上冊開始新增設的一個單元，是新教材在向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法方面做出的新嘗試。本課內(nèi)容重在向?qū)W生滲透簡單的排列組合的數(shù)學思想方法，并初步培養(yǎng)學生有順序地、全面地思考問題的意識。排列組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是高年級學習概率統(tǒng)計知識的基礎，同時也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。
本課內(nèi)容是學生在小學階段初次接觸有關排列組合的知識，但是在日常生活中，有很多事情是用排列組合來解決的，如：衣服的搭配、路線選擇等等，作為二年級的學生，已經(jīng)有了一定的生活經(jīng)驗，因此在學習中安排生動有趣的活動幫助學生感知排列組合的知識。
教必有法而教無定法，只有方法得當，才會有效。根據(jù)本課教學內(nèi)容的特點和學生的思維特點，我采用情境教學法、操作發(fā)現(xiàn)法、直觀演示的教學方法。為使學生能夠有效地學習，主動的建構(gòu)知識。我采用合作交流法、動手操作法、自主探究的學習方法，讓學生在一系列活動中感知排列組合。旨在凸顯三模小組化的教學模式，從根本上改變傳統(tǒng)教育重教師 教輕學生學的做法，突出學生的主體地位，培養(yǎng)學生自主學習能力。讓學生去自學、去嘗試、去探究、去發(fā)現(xiàn)、去解決。在課堂教學中，實現(xiàn)了以下三種轉(zhuǎn)變：創(chuàng)境引題變說出為引入；先學后教變被動為主動；展示反饋變學會為會學。
教學過程設計：
（一）創(chuàng)境引題變說出為引入
藍貓是學生喜歡的形象，本課我設計了藍貓帶大家去數(shù)學廣角游玩的情境并貫穿全課。
談話導入：小朋友，今天藍貓要帶我們一起到數(shù)學廣角參觀，你們高興嗎？哎，快看，數(shù)學廣角的大門是有密碼鎖的，要進去必須得到密碼才行。這時有學生可能會發(fā)出疑問或者提出問題：密碼是幾位數(shù)��？密碼符合什么條件��？。藍貓告訴大家：密碼是1和2組成的兩位數(shù)，學生很快就找出了答案：12或21，但不能確定是哪個，同學們，密碼是10-20之間，學生判斷出是12。我對判斷出是12的學生進行表揚和獎勵，讓他們一開始上課就獲得了成功的體驗。這樣設計調(diào)動了學生的學習興趣，營造了活躍的課堂氣氛，又在破譯密碼的過程中，滲透了簡單的排列知識，為新課的學習做了良好的鋪墊。
（二）先學后教變被動為主動
1、小組合作學習探究用1、2、3能組成幾個不同的兩位數(shù)，感知排列知識。
首先出示導學案簡潔明了，為學生合作學習指明了方向，讓學生結(jié)合導學案先學。這時學生小組合作拿出數(shù)字卡片，在小組內(nèi)擺一擺、寫一寫、說一說，并記錄下結(jié)果。給學生一個自主學習的空間，教師在輔導過程中能夠了解學生的學習情況，為后面的交流展示做好準備。而我則重點指導學生要邊擺邊說，培養(yǎng)學生動手操作、動口表達、動腦思考的有機結(jié)合。接著鼓勵學生小組一起上臺展示，在展示時，有的學生講，有的學生寫，其他成員補充，這樣體現(xiàn)了小組合作的重要性。教師故意選擇了三個不同方法的小組展示，根據(jù)學生的交流匯報板書三種情況：（1）固定排頭的方法12、13、21、23、31、32；（2）固定排尾的方法21、31、12、32、13、23；（3）個位十位交換位置的方法12、21、13、31、23、32。通過對比交流，發(fā)現(xiàn)既不重復也不遺漏的應該是6個，我接著追問：怎樣才能做到即不重復、又不遺漏的`寫出這6個數(shù)呢？這時學生各抒己見，說出自己的好辦法，我對學生的方法加以肯定并表揚：你們的方法真好，我們只要按照一定的順序去寫，就不會重復和遺漏了，并將其概括為：有序列舉，這是一次數(shù)學思想方法的滲透，也是本課教學的重點。為了突破出這個教學重點并讓學生充分感受有序列舉的好處，我接著讓學生觀察這三種方法，說一說你喜歡哪一種？為什么？通過學生的敘述加深了學生對有序列舉的感受。
讓學生在交流中互相學習，思維碰撞產(chǎn)生新的火花，發(fā)散學生思維，效果不同凡響。使學生了解不同的方法，把不同的排列進行對比，克服學生思維定式，有利于學生從多角度理解排列知識，從而深刻理解排列的內(nèi)涵，揭示排列的本質(zhì)，使學生對數(shù)字的排列有了一個更高層次的認識。讓學生當小老師上臺展示交流，既可以鍛煉這部分學生的膽量，又借學生之口來講解老師要講的內(nèi)容，臺下學生聽得更認真，同時能讓老師站在學生的角度觀察思考，進而進行查漏補缺，釋疑解惑，重點講解，難點辨析，這樣老師教的輕松，學生學得扎實。而且因為學生自已整理出來的知識結(jié)構(gòu)，往往是最貼切學生的認知能力的，從中也最能暴露學生知識的盲點，有助于教師的矯正。這樣的教學利于學生主體性地發(fā)揮，把學習的主動權(quán)還給學生，讓學生在平等交流中體驗互助合作的神奇，完善健康的人格個性。在這一環(huán)節(jié)領袖兒童脫穎而出。
2、小組合作握手游戲，感知組合知識。
承上一活動，門終于開了同學互相握手表示祝賀，從而引出：三個人之間可以握幾次手呢？先讓學生猜猜看？經(jīng)過上面的學習，學生可能會猜是6次，也有的可能猜是3次，到底是幾次呢？學生親自握手試一試！此時我也走下講臺參與到學生的活動中，并重點指導有順序的握手。小組活動結(jié)束后，請一小組上臺展示握手情況，在鞏固了有序思考問題的同時，引導學生用圖示來表示握手的方法。這樣設計，既能使學生在握手的游戲中體驗知識的形成過程，又可以作為課中活動，使學生在此放松，達到一舉兩得的效果。另外，用圖示來抽象形象的表示握手的方法，這又是一次數(shù)學思想方法的滲透。
3、對比發(fā)現(xiàn)，區(qū)分排列組合。
在上一個環(huán)節(jié)中，學生通過握手游戲，對組合的規(guī)律進行了本質(zhì)的探究，在活動中已經(jīng)感受到了排列與組合的不同。我以一個問題引入同樣是3，為什么3個數(shù)字可以擺6個兩位數(shù)，而3個人卻只能握3次手？這個問題是本課教學的難點，我采取的是在操作活動中對比感知排列與組合的不同，在同伴的交流和啟發(fā)中發(fā)現(xiàn)，兩個數(shù)字交換位置變成了兩個數(shù)，而握手時兩個人即使換位置還是這兩個人，所以就是一次。由于數(shù)學知識很多時候都顯得枯燥無味，在這兒我利用兒歌朗朗上口的特點，學生更容易記住，編了一個溫馨提示。那么我也及時的做出小結(jié)并揭題：前面擺卡片的情況是與順序有關的叫排列，而握手的情況是與順序沒有關系的叫組合。從而突破了教學的難點。
（三）展示反饋變學會為會學
根據(jù)低年級學生的心理特征和本節(jié)課的教學重難點，我在練習設計時注重了目標明確、重點突出、形式多樣、有趣味性、聯(lián)系生活，從而體會生活中處處有數(shù)學。仍然圍繞藍貓問題為情境，以搭配、起名、走路、號碼為載體，以訓練為主線，以培養(yǎng)領袖兒童各種能力為目的，給學生搭建了一個展示反饋的平臺，讓所學的排列組合知識在這里得到應用，讓學生的參與熱情在這里得到高漲，讓整節(jié)課在這里得到升華。
1、搭配問題
藍貓想請大家為它搭配一套漂亮的衣服，用一件上裝搭配一件下裝能搭配幾套呢？將衣服圖片貼在黑板上，學生感覺很新鮮，積極參與，學生說的同時師連線其實也在滲透一種作圖方法，并且用兩種顏色的筆區(qū)分開來，潛移默化的讓學生感受固定上衣的方法，老師并不滿足現(xiàn)狀，而是趁熱打鐵追問到：除此之外，還有哪些方法？進而啟發(fā)得出還有固定下裝的方法。這種發(fā)散問題主要是培養(yǎng)學生從多角度、多方面、多領域去認識客觀事物。
2、起名問題
藍貓請大家用孫、行、者這三個字給孫悟空取名字，看能給它取多少個名字？我讓三個學生戴生字頭飾排隊，學生頓時興趣高漲，在排隊游戲中鞏固排列知識。
3、走路問題
藍貓從學校出發(fā)經(jīng)過數(shù)學廣角回到家有幾種不同的走法?你會選哪條？這也是一個組合問題，但是培養(yǎng)了學生的一種生活經(jīng)驗直路最近。
4、號碼問題
藍貓的電話號碼后三位是1、8、9組成的，可能是什么?這是一個貼近生活的排列問題，也是一個拔高題，與三年級的知識銜接在一起。
另外，我在板書設計時，力求體現(xiàn)知識性、簡潔性、藝術性，使學生一目了然。
排列組合教案13
教學目標：
1、知識目標：使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列規(guī)律。
2、能力目標：培養(yǎng)學生初步的觀察、分析和推理能力及有順序地、全面地思考問題的意識，并通過互相交流，使學生體會解決問題策略的多樣性。
3、情感目標：
①使學生感受數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，進一步體會數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際生活中的問題，增強應用數(shù)學的意識，并使學生在數(shù)學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣。
�、谑箤W生在探索規(guī)律活動中獲得成功的體驗，增強對數(shù)學學習的興趣和信心。
教學重點：找出簡單排列與組合的規(guī)劃，并能解答簡單的排列與組合問題。
教學難點：簡單區(qū)分排列與組合的異同。
教學準備：數(shù)字卡片、、衣服圖片、多媒體課件
教學過程：
一、激趣導入
師：同學們，今天老師要帶你們到一個有趣的地方去玩，想去嗎？
板書：數(shù)學廣角
想去的話，要通過老師的考核才能去的。
猜一猜：我的年齡是由數(shù)字3和5組成的兩位數(shù)。
學生猜測并說明理由。
二、探究學習
1、3個數(shù)字可以擺出多少個不同的兩位數(shù)？
課件出示：猜一猜，我家座機號碼是0713-62147（）（）
先讓學生猜一猜。
師：你們這樣猜要猜到什么時候�。窟@樣吧，老師再給你提供一些信息：
剩下兩個數(shù)字是由1、3、8三個數(shù)字中的兩個。
�。�1）擺一擺
用手中的數(shù)字卡片擺一擺，共有幾種可能？
老師給同學們準備了三張數(shù)字卡片，請你們動手擺一擺，同桌合作，一個人擺數(shù)，一個人記錄。同學們嘗試拼擺，并且將探究結(jié)果寫出來。
教師巡視，留意學生的幾種答案：有序的（先確定十位的`，先確定個位的）、無序的、有遺漏的、有重復的。
�。�2）說一說
請幾名學生（有代表性的）匯報。呈現(xiàn)在黑板
師：哪些是對的？你喜歡哪一種？為什么？
（如果學生還是說不出，教師可以引導學生觀察有序的一種，1在什么位，1在十位的兩位數(shù)能擺幾個，師可用卡片同時演示；除了1還有哪些數(shù)可以在十位，他們分別又有幾個兩位數(shù)？像這位同學就是想到先確定十位。那么這位同學又是先確定什么的呢？或問除了先確定十位，還有其他方法嗎？）
這樣先確定十位或個位的方法好在哪里？（板書不重復、不遺漏）
（3）猜數(shù)
師：范圍越來越小了，再給你些信息
課件再給出信息：這兩個數(shù)的和為9，個位不是8。
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�。�1）恭喜你們，猜對了，你們考核過關！來，同桌互相握手祝賀一下。
師：同桌2人互相握手幾次？演示兩人握手，可以說我和你握手，也可以說你和我握手，但算握手的次數(shù)的話，算幾次？
這里也有三位小朋友在握手，她們是怎么握的？出示：每兩人握手一次，三人共要握幾次？
要說清楚握了幾次，怎么握的，他們沒名字怎么說得清楚？你覺得剛才說的方法麻煩不麻煩？怎樣表示才能又清楚又簡潔？
對啊，我們數(shù)學有自己的語言，可以用符號、圖形來表示，更快更清晰。（師標上1、2、3）
�。�2）想一想，寫一寫
�。�3）為什么三個數(shù)排成6個兩位數(shù)，握手只有三次？（課件出示）
師小結(jié)：生活中很多事情需要我們有序地思考，有些與順序有關，有些與順序無關，比如搭配衣服。
三、鞏固提升
1、搭配衣服
該出發(fā)了，老師想打扮得漂亮些。這里有二件上衣和二條褲子，你能幫老師選一套衣服嗎？
該怎么搭配呢？有幾種不同的搭配方案？
師：你們擺出了幾種不同的搭配方法？是怎么想的？
請生上臺展示。
師：現(xiàn)在老師提出更高的要求，如果老師要你們把剛才的想法用連線的辦法表示出來，你們會嗎？
生在練習本上連線。
2、照相排隊
小麗、小芳、小美三人想站成一排拍照留念，她們有幾種站法？
生上臺演示。得出一共有6種不同的站法。
師：有沒有更簡便的方法展示她們?nèi)说恼痉ǎ坑媚阕约合矚g的方式試試吧。（可以是文字，符號，數(shù)字等）
4、路線
課件出示：從數(shù)學廣角回到家中有幾條路可走？
你會選擇那條路呢？
學生討論，匯報。
5、電話號碼
師：在數(shù)學廣角玩的開心嗎？記得有什么開心的事要打電話讓老師也聽聽。
課件出示：老師的手機號碼：18942167（）（）（）
最后三個數(shù)字是由1、6、8組成的，猜一猜，老師的手機號碼可能是多少呢？
四、拓展延伸
師：今天我們在數(shù)學廣角里玩，你有什么收獲？
生自由發(fā)言
師：老師課后留了一個小問題，請同學們討論好之后告訴我。
課件：09里面是不是任意三個不同的一位數(shù)字，都能排成6個兩位數(shù)呢？
排列組合教案14
解決排列組合應用題的基礎是：正確應用兩個計數(shù)原理，分清排列和組合的區(qū)別。
引例1
現(xiàn)有四個小組，第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人，他們參加旅游活動：
�。�1）選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法。
�。�2）每組選一名組長，共有多少種不同的選法4
評述：本例指出正確應用兩個計數(shù)原理。
引例2
�。�1）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？
（2）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？
評述：本例指出排列和組合的區(qū)別。
求解排列組合應用題的困難主要有三個因素的影響：
1、限制條件。2、背景變化。3、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)
排列組合應用題可以歸結(jié)為四種類型：
第一個專題排隊問題
重點解決：
1、如何確定元素和位置的關系
元素及其所占的位置，這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”。
例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？
分析：這可以說是一道較簡單的排列組合的題目了，但為什么有的同學能做出正確的答案（種），而有的同學則做出容易錯誤的答案（種），而他們又錯在哪里呢？應該是錯在“元素”與“位置”上了！
法一：元素分析法（以信為主）
第一步：投第一封信，有4種不同的投法；
第二步：接著投第二封信，亦有4種不同的投法；
第三步：最后投第三封信，仍然有4種不同的投法。
因此，投信的方法共有：（種）。
法二：位置分析法（以信箱為主）
第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法（種）；
第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，另外的某一個信箱有1封信，有投信方法種。
第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法（種）。
因此，投信的方法共有：64（種）
小結(jié)：以上兩種方法的本質(zhì)還是“信”與“信箱”的對應問題。
2、如何處理特殊條件——特殊條件優(yōu)先考慮。
例：7位同學站成一排，按下列要求各有多少種不同的排法；
甲站某一固定位置；②甲站在中間，乙與甲相鄰；③甲、乙相鄰；④甲、乙兩人不能相鄰；⑤甲、乙、丙三人相鄰；⑥甲、乙兩人不站在排頭和排尾；⑦甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；⑧甲、乙兩人必須相鄰，且丙不站在排頭和排尾。
第二個專題排列、組合交叉問題
重點解決：
1、先選元素，后排序。
例：3個大人和2個小孩要過河，現(xiàn)有3條船，分別能載3個、2個和1個人，但這5個人要一次過去，且小孩要有大人陪著，問有多少種過河的方法？
分析：設1號船載3人，2號船載2人，3號船載2人，小孩顯然不能進第3號船，也不能二個同時進第2號船。
法一：從“小孩”入手。
第一類：2個小孩同時進第1號船，此時必須要有大人陪著另外
2個大人同時進第2號船或分別進第2、3號船，先選3個大人之一進1號船，
有（種）過河方法
第二類：2個小孩分別進第1、2號船，此時第2號船上的小孩必須要有大人陪著，另外
2個大人同時進第1號船或分別進第1、3號船，有過河方法
�。ǚN）。
因此，過河的方法共有：（種）。
法二：從“船”入手
第一類：第1號船空一個位，此時3條船的載人數(shù)分別為2、2、1，故2個小孩只能分
別進第1、2號船，有過河方法（種）；
第二類：第2號船空一個位，此時3條船的載人數(shù)分別為3、1、1，故2個小孩只能同時進第1號船，有過河方法（種）；
第三類：第3號船空一個位，此時3條船的載人數(shù)分別為3、2、0，故2個小孩同時進第1號船或分別進第1、2號船，有過河方法（種）。因此，過河的方法共有：（種）。
2、怎樣界定是排列還是組合
例：①身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，從中間看兩邊，一個比一個矮，這樣的排法有多少種？
�、谏砀卟坏鹊�7名同學排成一排，要求中間的高，兩邊次高，再兩邊次高，如此下去，這樣的排法共有有多少種？
答：①種②=8種
本來①是組合題，與順序無關，但有些學生不加分析，看到排隊就聯(lián)想排列，這是一個誤區(qū)。至于②也不全是排列問題，只是人自然有高低，按人的高低順次放兩邊就是了。
又例：7名同學排成一排，甲、乙、丙這三人的順序定，則不同排法有多少種？
分析，三人的順序定，實質(zhì)是從7個位置中選出三個位置，然后按規(guī)定的順序放置這三人，其余4人在4個位置上全排列。故有排法=840種。
3、枚舉法
三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有
�。ˋ）6種（B）8種（C）0種（D）12種
解：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時間內(nèi)迅速獲得答案，考慮互傳次數(shù)不多，所得選擇的答案數(shù)字也不大，只要按題意一一列舉即可。
第三個專題分堆問題
重點解決：
1、均勻分堆和非均勻分堆
關于這個問題，課本P146練習10如此出現(xiàn)：8個籃球隊有2個強隊，先任意將這8各隊分成兩個組，（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分成在一個小組的概率是多少？
由于課本后面出現(xiàn)這樣的`練習題，所以前面應對這些問題有所分析，尤其為什么均勻分堆有出現(xiàn)重復？應舉例說明。
例：有六編號不同的小球，
�、俜殖�3堆，每堆兩個
②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個
�、鄯殖�3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個
在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？
分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現(xiàn)重復。在教學中應用數(shù)字表示球，通過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。
例：有六編號不同的小球，
�、俜殖�3堆，每堆兩個
�、诜殖�3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個
�、鄯殖�3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個
在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？
分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現(xiàn)重復。在教學中應用數(shù)字表示球，通
過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。
答案：①②③④再乘以
2、為什么有重復，怎樣避免重復
例：從4名男生、5名女生中任選3人參加學代會，至少男生、女生各一名的不同選法有多少種？
有些學生這樣想：先從4人中選一人，再從5人中選一人，最后在剩下的7人中選一人，結(jié)果是結(jié)果是錯誤的。因為后面的7人與前面已選的人可能出現(xiàn)重
復，正確的答案是。
又例：有4個唱歌節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目，2個小品排成一個節(jié)目單，但舞蹈和小品要相隔，不同的編排有多少種方法？
有些學生這樣想，先定位4個唱歌，有5個位插入小品兩個位，此時有7個位再插入4個舞蹈，故的表達式是。
其實，這里又出現(xiàn)了重復，正確的列式是
第四個專題直接法和間接法的區(qū)別及運用
重點解決：
1、選擇集合的元素有交集問題；
例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有幾種不同的坐法？
法一：直接法
第一類：甲在第2—6號位中選一而坐，接著乙在第1—6位中余下的5個位中擇一而坐，剩下的任意安排（種）；
第二類：甲在第7號坐，剩下的任意安排，有坐法數(shù)（種）。
因此，不同的坐法數(shù)共有（種）。
法二：間接法
七人并坐，共有坐法數(shù)（種）。甲坐首位，有種方法；乙坐末位，亦有種方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合題目要求，所以應該從扣除，但在扣除的過程中，甲坐首位且乙坐末位的情況被扣除了2次，因此還須補回一個。因此，不同的坐法數(shù)有（種）
2、選擇元素中有至少、至多等問題。
在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從100見產(chǎn)品中任意抽取3件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少種？（2）至多有一件次品的抽法有多少種？
答：（1）解法1：
解法2：
（2）
以上的處理，主要有如下幾個好處：
�、俳虒W比較自然、流暢，容易對近似概念進行比較，找到其相同點和不同點，更深刻的從外延到內(nèi)涵掌握概念及其數(shù)學意義。
�、诎严嚓P概念弄清楚后，能給學生有足夠的工具，使學生解決應用題時不在被工具而困擾，形成良好知識結(jié)構(gòu)，解決問題的思路容易暢通
�、壑攸c突出，學生就比較容易把每一個難點和重點給予突破，減輕學生的負擔又能實現(xiàn)學生的學習落到實處。
�、茉谔岣呓虒W質(zhì)量的前提下，又能提高效率。
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