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數(shù)學(xué)逆轉(zhuǎn)程序與方法
當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞在論述解題策略時(shí)，曾強(qiáng)調(diào)“反面思考”的作用，所謂“反面思考”，就是通過考察事物的對(duì)立面來探索問題的解的一種思考方法，數(shù)學(xué)逆轉(zhuǎn)程序與方法
。由于事物的對(duì)立面可以從不同的角度來選取，這就使得反面思考又有不同的思考方式，而逆轉(zhuǎn)程序就是這些思考方式中的一種，如果把原問題看成是已知A來探求B，那么，逆轉(zhuǎn)程序就是把原問題更改為已知B來探求A，即從相反方向（交換起點(diǎn)與終點(diǎn)）這個(gè)對(duì)立面來探求問題的解答。下面舉幾個(gè)例子，說明逆轉(zhuǎn)程序的應(yīng)用。這些例子都是生動(dòng)有趣的，但用常規(guī)的方法卻不易求解，從而有力地說明了逆轉(zhuǎn)程序在解決有關(guān)問題（特別是數(shù)學(xué)競賽題）中的優(yōu)越性。例：給你四段鏈條，每一段上有三節(jié)封閉（可開可合）的環(huán)�，F(xiàn)在要你打開一些環(huán)，把十二節(jié)環(huán)連接成一個(gè)首尾相接的圓圈（圖略）。每打開一環(huán)得兩分，接上一環(huán)得3分，要以得分不超過15分完成本題。有人對(duì)解這個(gè)題的各種嘗試過程作了非常詳細(xì)的討論，并介紹了在不斷的“試錯(cuò)”和“反思”中尋求解題途徑的思想方法，這無疑是一種有效的解題方式。但是，本題若采用逆轉(zhuǎn)程序的策略，其解答則顯而易見。解我們從相反的方向來考察，即怎樣將一個(gè)12環(huán)首尾相接的圈打開盡量少的環(huán)，使其分成環(huán)數(shù)相等的四部分？（圖略）我們只須打開標(biāo)有“×”的三個(gè)環(huán)即可，由于“合”與“分”是對(duì)立的統(tǒng)一，一種“分”的方式即可產(chǎn)生一種“合”的方法，
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《數(shù)學(xué)逆轉(zhuǎn)程序與方法》(http://www.szmdbiao.com)。這樣，可知原題應(yīng)打開某段鏈條的全部三個(gè)環(huán)，此時(shí)，打開三環(huán)得6分，而且該三環(huán)將其它三段鏈條接起來得9分，共得6+9=15分，符合題目要求。又例：由8個(gè)相同的小立方體構(gòu)成一個(gè)2×2×2的大立方體。今沿小立方體的表面將大立方體分成大小、形狀完全相同的兩個(gè)幾何體，問有多少不同的分法？解本題是一個(gè)有趣的組合問題，如果將思維限制在考察怎樣從大立方體中分割出兩個(gè)全等的幾何體則是難以考慮全面的：表面似乎只有一種分法，即將其分為兩個(gè)1×2×2的長方體。除此之外，再不知如何下手�，F(xiàn)在，我們從相反的方向來考慮：哪些全等的兩個(gè)幾何體（由4個(gè)小立方體構(gòu)成）可以“合”成一個(gè)大立方體？即從部分“合成”整體這一方向來考察事物的可能性。由于“部分”的形狀比較容易分析，從而問題的解也就趨于明朗。考察由4個(gè)小立方體合在一起構(gòu)成的圖形的所有可能形狀，其中注意它們的最大棱長不超過2。首先，由兩個(gè)正方體拼起來只有一種方式，再加上一個(gè)正方體，雖有兩種情形，但其中一種含有大于2的棱長，從而也只有一種可能。再在三個(gè)小正方體上添加一個(gè)小正方體這只有4種允許的本質(zhì)上不同的拼合方式（本質(zhì)上不同是指經(jīng)過剛體運(yùn)動(dòng)后它們不能重合）。意外的是，這四種情形中的任何一種，其兩個(gè)完全相同的幾何體都能拼成2×2×2的立方體，故我們的答數(shù)為4。
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