周期函數(shù)的判定方法

　羅建宇

　江蘇省張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué)    215600

周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，近年高考對(duì)這一性質(zhì)的考查加大了檢測(cè)力度，本文給出一些常用的判斷（識(shí)別）函數(shù)周期性的方法，供讀者參考．

一、 定義法

若存在非零常數(shù) 使 對(duì)于 的定義域內(nèi)的任意 都成立，則 是周期函數(shù)，且非零常數(shù) 是 的一個(gè)周期．

二、 直觀法

若函數(shù)圖象可由某一段重復(fù)平移而銜接得到，則該函數(shù)是周期函數(shù)，且這一段圖象兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差是這個(gè)函數(shù)一個(gè)周期．

三、 公式法

若 是最小正周期為 的周期函數(shù)，則 （其中 都是常數(shù)）是以 為最小正周期的周期函數(shù)．

四、 雙軸法

若兩條平行直線 都是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

證：由 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸，得： 

又 也是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸，

所以， 

故 

因此 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

推論：圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

五、 兩點(diǎn)法

若點(diǎn) ，  都是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

證：由點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心，得：

又點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心，得：

兩式相減得： 

因此 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

推論：圖象關(guān)于點(diǎn)  對(duì)稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

六、點(diǎn)軸法

若直線 和點(diǎn)  分別是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

證：由 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸，得：

又 是函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心，得：

故 

兩式相減整理得： 

所以 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

推論1圖象關(guān)于  對(duì)稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

推論2圖象關(guān)于點(diǎn)  對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．

注釋：

[1]另外，若函數(shù)滿足以下常見(jiàn)的函數(shù)方程之一，也可判定其為周期函數(shù)．即：

(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期；

(2)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期；

(3)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期．

[2]周期性的證明應(yīng)嚴(yán)格按照周期函數(shù)的定義證明，在理解函數(shù)周期性時(shí)可結(jié)合圖象從數(shù)形結(jié)合的角度直觀的觀察，即方法二；

[3]函數(shù)周期性出現(xiàn)在三角函數(shù)一章中，故方法三常用做計(jì)算函數(shù)的最小正周期，尤其是三角函數(shù)的最小正周期；

[4]后三種方法及推論便于判斷一些特殊函數(shù)和抽象函數(shù)的周期性，反映了一般的抽象函數(shù)若同時(shí)具有奇偶性和對(duì)稱性或?qū)ΨQ性（兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系），則函數(shù)具有周期性，可結(jié)合方法二加以理解．

例1(04年全國(guó)高考17題)求函數(shù) 的最小正周期、最大值和最小值．

解析：  

所以函數(shù)的最小正周期為 ，最大值是 ，最小值是 ．

例2(01年全國(guó)高考22題第(2)問(wèn))設(shè) 是定義在 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，證明 是周期函數(shù)．

證明：∵ 關(guān)于直線 對(duì)稱

∴ ， 

又 是偶函數(shù)知 ， 

∴ 

上式中以 代 ，得 ， 

這表明 是 上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．