數(shù)學(xué)教案－平行線等分線段定理

1．平行線等分線段定理

定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等．

注意事項：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組；它是由三條或三條以上的平行線組成．

定理的作用：可以用來證明同一直線上的線段相等；可以等分線段．

2．平行線等分線段定理的推論

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰．

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

記憶方法：“中點”＋“平行”得“中點”．

推論的用途：（1）平分已知線段；（2）證明線段的倍分．

重難點分析

本節(jié)的重點是平行線等分線段定理.因為它不僅是推證三角形、梯形中位線定理的基礎(chǔ)，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎(chǔ).

本節(jié)的難點也是平行線等分線段定理.由于學(xué)生初次接觸到平行線等分線段定理，在認(rèn)識和理解上有一定的難度，在加上平行線等分線段定理的兩個推論以及各種變式，學(xué)生難免會有應(yīng)接不暇的感覺，往往會有感覺新鮮有趣但掌握不深的情況發(fā)生，教師在教學(xué)中要加以注意.

教法建議

平行線等分線段定理的引入

生活中有許多平行線等分線段定理的例子，并不陌生，平行線等分線段定理的引入可從下面幾個角度考慮：

①從生活實例引入，如刻度尺、作業(yè) 本、柵欄、等等；

②可用問題式引入，開始時設(shè)計一系列與平行線等分線段定理概念相關(guān)的問題由學(xué)生進行思考、研究，然后給出平行線等分線段定理和推論.

教學(xué)設(shè)計示例

一、教學(xué)目標(biāo) 

1. 使學(xué)生掌握平行線等分線段定理及推論.

2. 能夠利用平行線等分線段定理任意等分一條已知線段，進一步培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．

3. 通過定理的變式圖形，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

4. 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，體會圖形語言和符號語言的和諧美

二、教法設(shè)計

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、討論研究，教師引導(dǎo)分析

三、重點、難點

1．教學(xué)重點：平行線等分線段定理

2．教學(xué)難點 ：平行線等分線段定理

四、課時安排

l課時

五、教具學(xué)具

計算機、投影儀、膠片、常用畫圖工具

六、師生互動活動設(shè)計

教師復(fù)習(xí)引入，學(xué)生畫圖探索；師生共同歸納結(jié)論；教師示范作圖，學(xué)生板演練習(xí)

七、教學(xué)步驟 

【復(fù)習(xí)提問】

1．什么叫平行線？平行線有什么性質(zhì)．

2．什么叫平行四邊形？平行四邊形有什么性質(zhì)？

【引入新課】

由學(xué)生動手做一實驗：每個同學(xué)拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關(guān)系？（橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的），然后在橫格紙上畫一條垂直于橫線的直線 ，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關(guān)系？（相等，為什么？）這時在橫格紙上再任畫一條與橫線相交的直線 ，測量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等？

（引導(dǎo)學(xué)生把做實驗的條件和得到的結(jié)論寫成一個命題，教師總結(jié)，由此得到平行線等分線段定理）

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．

注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點必須使學(xué)生明確．

下面我們以三條平行線為例來證明這個定理（由學(xué)生口述已知，求證）．

已知：如圖，直線 ， ．

求證： ．

分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形（也可應(yīng)用平行線間的平行線段相等得 ），通過全等三角形性質(zhì)，即可得到要證的結(jié)論．

（引導(dǎo)學(xué)生找出另一種證法）

分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識即可證得 ．

證明：過 點作 分別交 、 于點 、 ，得 和 ，如圖．

∴

∵ ，

∴

又∵ ， ，

∴

∴

為使學(xué)生對定理加深理解和掌握，把知識學(xué)活，可讓學(xué)生認(rèn)識幾種定理的變式圖形，如圖（用計算機動態(tài)演示）．

引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在梯形 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論 1．

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰．

再引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論2．

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．

注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計算中經(jīng)常用到，因此，要求學(xué)生必須掌握好．

接下來講如何利用平行線等分線段定理來任意等分一條線段．

例  已知：如圖，線段 ．

求作：線段 的五等分點．

作法：①作射線 ．

②在射線 上以任意長順次截取 ．

③連結(jié) ．

④過點 ． 、 、 分別作 的平行線 、 、 、 ，分別交 于點 、 、 、 ．

  、 、 、 就是所求的五等分點．

（說明略，由學(xué)生口述即可）

【總結(jié)、擴展】

小結(jié)：

（l）平行線等分線段定理及推論．

（2）定理的證明只取三條平行線，是在較簡單的情況下證明的，對于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明．

（3）定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組．

（4）應(yīng)用定理任意等分一條線段．

八、布置作業(yè) 

教材P188中A組2、9

九、板書設(shè)計 

數(shù)學(xué)教案－平行線等分線段定理