數學教案－矩形

教學建議

知識結構

重難點分析

本節(jié)的重點是矩形的性質和判定定理。矩形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一個角是直角”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法。矩形的這些性質和判定定理即是平行四邊形性質與判定的延續(xù)，又是以后要學習的正方形的基礎。

本節(jié)的難點是矩形性質的靈活應用。由于矩形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質，同時還具有自己獨特的性質。如果得到一個平行四邊形是矩形，就可以得到許多關于邊、角、對角線的條件，在實際解題中，應該應用哪些條件，怎樣應用這些條件，常常讓許多學生手足無措，教師在教學過程 中應給予足夠重視。

教法建議

根據本節(jié)內容的特點和與平行四邊形的關系，建議教師在教學過程 中注意以下問題：

1.矩形的知識，學生在小學時接觸過一些，可由小學學過的知識作為引入。

2.矩形在現實中的實例較多，在講解矩形的性質和判定時，教師可自行準備或由學生準備一些生活實例來進行判別應用了哪些性質和判定，既增加了學生的參與感又鞏固了所學的知識．

3. 如果條件允許，教師在講授這節(jié)內容前，可指導學生按照教材145頁圖4-30所示，制作一個平行四邊形作為教學過程 中的道具，既增強了學生的動手能力和參與感，有在教學中有切實的體例，使學生對知識的掌握更輕松些．

4. 在對性質的講解中，教師可將學生分成若干組，每個學生分別對事先準備后的圖形進行邊、角、對角線的測量，然后在組內進行整理、歸納．

5. 由于矩形的性質定理證明比較簡單，教師可引導學生分析思路，由學生來進行具體的證明．

6.在矩形性質應用講解中，為便于理解掌握，教師要注意題目的層次安排。

 矩形教學設計

教學目標 

1．知道矩形的定義和矩形與平行四邊形之間的聯(lián)系；能說出矩形的四個角都是直角和矩形的的對角線相等的性質；能推出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質。

2．能運用以上性質進行簡單的證明和計算。

此外，從矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系中，體會特殊與一般的關系，滲透集合的思想，培養(yǎng)學生辨證唯物主義觀點。

引導性材料

想一想：一般四邊形與平行四邊形之間的相互關系？在圖4．5－l的圓圈中填上“四邊形”和“平行四邊形”的字樣來說明這種關系：即平行四邊形是特殊的四邊形，又具有一般四邊形的一切性質；具有一些特殊的性質。

 

小學里已學過長方形，即矩形。顯然，矩形是平行四邊形，而且矩形還具有四個角都是直角(小學里已學過)等特殊性質，那么，如果在圖4.5-1中再畫一個圈表示矩形，這個圈應畫在哪里？

(讓學生初步感知矩形與平行四邊形的從屬關系。)

演示：用四根木條制作一個平行四邊形教具。利用平行四邊形的不穩(wěn)定性，演示如圖4.5-2，當平行四邊形的一個內角由銳角變?yōu)殁g角的過程中，會發(fā)生怎樣的特殊情況，這時的圖形是什么圖形(矩形)。

 

問題1：從上面的演示過程，可以發(fā)現：平行四邊形具備什么條件時，就成了矩形？

說明與建議：教師的演示應充分展現變化過程，從而讓學生深切地感受到短形是無數個平行四邊形中的一個特例，同時，又使學生能正確地給出矩形的定義。

問題2：矩形是特殊的平行四邊形，它除了“有一個角是直角”以外，還可能具有哪些平行四邊形所沒有的特殊性質呢？

說明與建議：讓學生分組探索，有必要時，教師可引導學生，根據研究平行四邊形獲得的經驗，分別從邊、角、對角線三個方面探索矩形的特性，還可提醒學生，這種探索的基礎是矩形“有一個角是直角”矩形的四個角都相等（矩形性質定理1），要學生給以證明（即課本例1后練習第1題）。

學生能探索得出“矩形的鄰邊互相垂直”的特性，教師可作說明：這與矩形的四個角是直角本質上是一致的，所以不必另列為一個性質。

學生探索矩形的四條對角線的大小關系時，如有困難，可引導學生測量并比較矩形兩條對角線的長度，然后加以證明，得出性質定理2。

問題3：矩形的一條對角線把矩形分成兩個直角三角形，矩形的對角線既互相平分又相等，由此，我們可以得到直角三角形的什么重要性質？

說明與建議：(1)讓學生先觀察圖4.5-3，并議論猜想，如學生有困難，教師可引導學生觀察圖中的一個直角三角形(如Rt△ABC)，讓學生自己發(fā)現斜邊上的中線BO與斜線AC的大小關系，然后讓學生自己給出如下證明：

證明：在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=BD(矩形的對角線相等)。

 AO=CO

∴在Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線，且 。

∴直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

 

例題解析

例1：(即課本例1)

說明：本題難度不大，又有助于學生加深對性質定理的理解，教學中應引導學生探索解法：

如圖4.5－4，欲求對角線BD的長，由于∠BAD=90°，AB=4cm，則只要再找出Rt△ABD中一條直角邊的長，或一個銳角的度數，再從已知條件∠AOD=120°出發(fā)，應用矩形的性質可知，∠ADB=30°，另外，還可以引導學生探究△AOB是什么特殊的三角形（等邊三角形），課本用了第一種解法，并給出了解幾何計算題書寫格式的示范；第二種解法如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD（矩形的對角線相等）。

又  。

∴OA＝BO，△AOB是等腰三角形，

∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°- 120°=60°

∴∠AOB是等邊三角形。

∴ BO＝AB＝4cm，

∴ BD＝2BO=24×4cm=8cm。

例2：（補充例題）

已知：如圖4．5－5四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， E是AC的中點，EF平分∠BED交BD于點F。

（l）猜想：EF與BD具有怎樣的關系？

（2）試證明你的猜想。

解：（l）EF垂直平分BD。

（2）證明：∵∠ABC=90°，點E是AC的中點。

∴ （直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半）。

同理： 。

∴BE=DE。

又∵EF平分∠BED。

∴EF⊥BD，BF=DF。

 

說明：本例是一道不給出“結論”，需要學生自己觀察---猜想---討論的幾何命題，有助于發(fā)展學生的推理(包括合情推理和邏輯推理)能力。如果學生不適應，或有困難，教師可根據實際情況加以引導，這種訓練，重要的不是猜對了沒有？證明了沒有？而是讓學生經歷這樣一種自己研究圖形性質的過程，順便指出：求解本題的重要基礎是識圖技能----能從復雜圖形中分解出如圖4.5-6所示的三個基本圖形。

 

課堂練習

1.課本例1后練習題第2題。

2.課本例1后練習題第4題。

小結

1.矩形的定義：

2.歸納總結矩形的性質：

對邊平行且相等

四個角都是直角

對角線平行且相等

3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

4．矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條對角線把矩形分成四個全等的等腰三角形。因此，有關矩形的問題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決。

作業(yè) 

l．課本習題4．3A組第2題。

2．課本復習題四A組第6、7題。

數學教案－矩形

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