分組分解法

教學目標 

1.使學生掌握分組后能運用提公因式和公式法把多項式分解因式；

2.通過因式分解的綜合題的教學，提高學生綜合運用知識的能力.

教學重點和難點

重點：在分組分解法中，提公因式法和分式法的綜合運用.

難點：靈活運用已學過的因式分解的各種方法.

教學過程 設計

一、復習

把下列各式分解因式，并說明運用了分組分解法中的什么方法.

(1)a2－ab+3b－3a； (2)x2－6xy+9y2－1；

(3)am－an－m2+n2； (4)2ab－a2－b2+c2.

解 (1) a2－ab+3b－3a

=(a2－ab)－(3a－3b)

=a(a－b)－3(a－b)

=(a－b)(a－3);

(2)x2－6xy+9y2－1

=(x－3y) 2－1

=(x－3y+1)(x－3y－1);

(3)am－an－m2+n2

=(am－an)－(m2－n2)

=a(m－n)－(m+n)(m－n)

=(m－n)(a－m－n);

(4)2ab－a2－b2+c2

=c2－(a2+b2－2ab)

=c2－(a－b) 2

=(c+a－b)(c－a+b).

第(1)題分組后，兩組各提取公因式，兩組之間繼續(xù)提取公因式.

第(2)題把前三項分為一組，利用完全平方公式分解因式，再與第四項運用平方差公式

繼續(xù)分解因式.

第(3)題把前兩項分為一組，提取公因式，后兩項分為一組，用平方差公式分解因式，然后兩組之間再提取公因式.

第(4)題把第一、二、三項分為一組，提出一個“－”號，利用完全平方公式分解因式

，第四項與這一組再運用平方差公式分解因式.

把含有四項的多項式進行因式分解時，先根據(jù)所給的多項式的特點恰當分解，再運

用提公因式或分式法進行因式分解.在添括號時，要注意符號的變化.

這節(jié)課我們就來討論應用所學過的各種因式分解的方法把一個多項式分解因式.

二、新課

例1 把 分解因式.

問：根據(jù)這個多項式的特點怎樣分組才能達到因式分解的目的?

答：這個多項式共有四項，可以把其中的兩項分為一組，所以有兩種分解因式的方法.

解 方法一

方法二

；

例2 把分解因式.

問：觀察這個多項式有什么特點?是否可以直接運用分組法進行因式分解?

答：這個多項式的各項都有公式因ab，可以先提取這個公因式，再設法運用分組法繼續(xù)分解因式.

解：

=

=

=

=

例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

分析：這個多項式的各項有公因式5a，先提取公因式，再觀察余下的因式，可以按：一、三”分組原則進行分組，然后運用公式法分解因式.

解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)

=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]

=5a[(3m2)－(2x－y) 2]

=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).

例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.

分析：如果去掉多項式的括號，再恰當分組，就可用分組分解法分解因式了.

解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an

=(2a2－3an)+(4am－6mn)

=a(2a－3n)+2m(2a－3n)

=(2a－3n)(a+2m).

指出：如果給出的多項式中有因式乘積，這時可先進行乘法運算，把變形后的多項式按照分組原則，用分組分解法分解因式.

三、課堂練習

把下列各式分解因式：

(1)a2+2ab+b2－ac－bc； (2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

(3)4a2+4a－4a2b+b+1； (4)ax2+16ay2－a－8axy；

(5)a(a2－a－1)+1； (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

答案：

(1)(a+b)(a+b－c)； (2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；

(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)； (4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；

(5)(a－1) 2 (a+1)；  (6)(bm+an)(am+bn).

四、小結

1.把一個多項式因式分解時，如果多項式的各項有公因式，就先提出公因式，把原多項式變?yōu)檫@個公因式與另一個因式積的形式.如果另一個因式是四項(或四項以上)的多項式，再考慮用分組分解法因式分解.

2.如果已知多項式中含有因式乘積的項與其他項之和(或差)時(如例3)，先去掉括號，把多項式變形后，再重新分組.

五、作業(yè) 

1.把下列各式分解因式：

(1)x3y－xy3； (2)a4b－ab4；

(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；

(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2； (6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；

(7)x2+x－(y2+y)； (8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).

2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

答案：

1.(1)xy(x+y)(x－y)； (2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；

  (3)(2x－y)(2x+y+1)； (4)(a+1) 2 (a2－a+1)；

(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)； (6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；

(7)(x－y)(x+y+1)； (8)(ax－by)(bx+ay).

2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)當x－2y=－2，b=－4098時，原式的值=0.

課堂教學設計說明

1.突出“通法”的作用.

對于含四項的多項式，可以根據(jù)所給的多項式的特點，常采取“二、二”分組或“一、三”分組的方法進行因式分解，這是運用分組法把多項式分解因式的通法，是帶有規(guī)律性和程序性的解題思路，學生應切實掌握.安排例1的目的是：引導學生運用分組的通法把一個含有六項的多項式分解因式，促使學生能舉一反三，觸類旁通.

2.加強各種方法的縱橫聯(lián)系.

把分組分解法與提公因式法和公式法之間結合為一體，進行縱橫聯(lián)系，綜合運用，考察學生掌握因式分解的方法和技能的狀況是這節(jié)課教學設計的目標.通過討論例3，引導學生綜合應用三種方法把多項式分解因式，以開發(fā)學生解題思路的變通性和靈性活，對于啟迪學生的思維和開闊學生的視野起到重要作用.

3.打通相反的思維過程.

因式分解與整式乘法是相反的變形，也是相反的思維過程，學生在學習多項式的因式分解時，也應當適當聯(lián)系整式的乘法.安排例4，目的是引導學生認識到，在把多項式因式分解時，如果給出的多項式出現(xiàn)了有因式乘積的項，但又不能提取公因式，這時就需要進行乘法運算，把變形后的多項式重新分組，再分解因式，從而啟發(fā)學生在學習數(shù)學時，應善于對數(shù)學知識和方法融匯貫通習慣于正向和逆向思維.

探究活動

系數(shù)為1的 型的二次三項式同學們已經(jīng)會分解因式了，那么二次項系數(shù)不是1的二次三項式 怎么分解呢？如：

1． ；2. .

有興趣的同學可以模仿 型式子的因式分解試著把上面兩式分解因式,你能總結出規(guī)律嗎?

答案:

1. ; 2. .

規(guī)律：二次項系數(shù)不是1的二次三項式 分解因式時，若滿足下列條件，則可將其分解為 ：

可分解為 ， 即

可分解為 ， 即

， ， ， 滿足 ，即

按斜線十字交叉相乘的積之和 若與一次項系數(shù) 相等，則可分解因式，

第一個因式由第一行的兩個數(shù)組成

第二個因式由第二行的兩個數(shù)組成

分解結果為：

分組分解法

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