數(shù)學(xué)教案－圓

1、教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

 

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：①點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系，圓的有關(guān)概念，因?yàn)樗鼈兪茄芯繄A的基礎(chǔ)；②五種常見的點(diǎn)的軌跡，一是對幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.

難點(diǎn)：① 圓的集合定義，學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個(gè)條件，內(nèi)容本身屬于難點(diǎn)；②點(diǎn)的軌跡，由于學(xué)生形象思維較強(qiáng)，抽象思維弱，而這部分知識比較抽象和難懂.

2、教法建議

本節(jié)內(nèi)容需要4課時(shí)

第一課時(shí)：圓的定義和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

（1）讓學(xué)生自己畫圓，自己給圓下定義，進(jìn)行交流，歸納、概括，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)的參與教學(xué)活動(dòng)；對于高層次的學(xué)生可以直接通過點(diǎn)的集合來研究，給圓下定義（參看教案圓（一））；

（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生自己觀察、分類、探究，在“數(shù)形”的過程中，學(xué)習(xí)新知識.

第二課時(shí)：圓的有關(guān)概念

（1）對（A）層學(xué)生放開自學(xué)，對（B）層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué)，要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是概念較多而沒有很多發(fā)揮的內(nèi)容，老師沒必要去講；

（2）課堂活動(dòng)要抓�。河伞皵�(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”，的主線.

第三、四課時(shí)：點(diǎn)的軌跡

條件較好的學(xué)校可以利用電腦動(dòng)畫來加深和幫助學(xué)生對點(diǎn)的軌跡的理解，一般學(xué)校可讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強(qiáng)向抽象思維過度.但我的觀點(diǎn)是不管怎樣組織教學(xué)，都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.

第一課時(shí)：圓（一）

教學(xué)目標(biāo) ：

1、理解圓的描述性定義，了解用集合的觀點(diǎn)對圓的定義；

2、理解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和確定圓的條件；

3、培養(yǎng)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問題的能力；

4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)和圓的關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn) ：以點(diǎn)的集合定義圓所具備的兩個(gè)條件

教學(xué)方法：自主探討式

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)(總框架)：

 

一、 創(chuàng)設(shè)情境，開展學(xué)習(xí)活動(dòng)

1、讓學(xué)生畫圓、描述、交流，得出圓的第一定義：

定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“圓O”.

2、讓學(xué)生觀察、思考、交流，并在老師的指導(dǎo)下，得出圓的第二定義.

從舊知識中發(fā)現(xiàn)新問題

觀察：

共性：這些點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等

想一想：在平面內(nèi)還有到O點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？它們構(gòu)成什么圖形？

（1）   圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑的長r）；

（2）   到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)都在圓上.

定義2：圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合.

3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

問題三：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系怎樣？（學(xué)生自主完成得出結(jié)論）

如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則：

點(diǎn)在圓上d=r；

點(diǎn)在圓內(nèi)d<r；

點(diǎn)在圓外d>r.

“數(shù)”“形”

二、 例題分析，變式練習(xí)

練習(xí)： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP=6cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________；當(dāng)OP=10cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________；當(dāng)OP=18cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O___________.

例1 求證：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.

已知（略）

求證（略）

分析：四邊形ABCD是矩形

A=OC，OB=OD；AC=BD

OA=OC=OB=OD

要證A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上

證明：∵ 四邊形ABCD是矩形

∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.

符號“”的應(yīng)用（要求學(xué)生了解）

證明：四邊形ABCD是矩形

    OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.

小結(jié)：要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，可以證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等.

問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.（讓學(xué)生探討）

練習(xí)1 求證：菱形各邊的中點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

（目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）

練習(xí)2 設(shè)AB=3cm，畫圖說明具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形.

(1)和點(diǎn)A的距離等于2cm的點(diǎn)的集合；

(2)和點(diǎn)B的距離等于2cm的點(diǎn)的集合；

(3)和點(diǎn)A，B的距離都等于2cm的點(diǎn)的集合；

(4)和點(diǎn)A，B的距離都小于2cm的點(diǎn)的集合；（A層自主完成）

三、 課堂小結(jié)

問：這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意哪些問題？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)：

(1)主要學(xué)習(xí)了圓的兩種不同的定義方法與圓的三種位置關(guān)系；

(2)在用點(diǎn)的集合定義圓時(shí)，必須注意應(yīng)具備兩個(gè)條件，二者缺一不可；

(3)注重對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

四、作業(yè)  82頁2、3、4.

第二課時(shí)：圓（二）

教學(xué)目標(biāo) 

1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會(huì)運(yùn)用這些概念判斷真假命題。

2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動(dòng)手實(shí)踐，總結(jié)出新概念的能力；進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)

生觀察、比較、分析、概括知識的能力。

3、通過動(dòng)手、動(dòng)腦的全過程，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)

1、重點(diǎn)：理解圓的有關(guān)概念．

2、難點(diǎn)：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．

3、疑點(diǎn)：學(xué)生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難。

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)：

（一）閱讀、理解

重點(diǎn)概念：

1、弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．

2、直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑．

3、圓�。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓�。�簡稱�。�

半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；

優(yōu)�。捍笥诎雸A的弧叫優(yōu)弧；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣�。�

4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．

5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓．

6、等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．

7、等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等�。�

（二）小組交流、師生對話

問題：

1、一個(gè)圓有多少條弦？最長的弦是什么？

2、弧分為哪幾種？怎樣表示？

3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個(gè)圓中一條弦能得到幾個(gè)弓形？

4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？

（通過問題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對概念的理解，排除疑難）

（三）概念辨析：

判斷題目：

（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）

（3）半圓是�。� ） （4）弧是半圓（ ）

（5）長度相等的兩段弧是等�。� ） （6）等弧的長度相等（ ）

（7）兩個(gè)劣弧之和等于半圓（） （8）半徑相等的兩個(gè)半圓是等�。ǎ�

（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個(gè)圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用．）

（四）應(yīng)用、練習(xí)

例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有�。�

解：一共有6條�。� 、 、 、 、 、 ．

（目的：讓學(xué)生會(huì)表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）

例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑．求證：AD∥BC．

 

（由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題．鍛煉學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手實(shí)踐能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識．）

鞏固練習(xí)：

教材P66練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成)．

（五）小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：

1、本節(jié)所學(xué)似的知識點(diǎn)；

2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個(gè)圖形；④等圓和等�。�

3、弧的表示方法．

（六）作業(yè) 

教材P66練習(xí)中3題，P82習(xí)題l(3)、(4)．

 

第三、四課時(shí) 圓（三）——點(diǎn)的軌跡

教學(xué)目標(biāo) 

1、在了解用集合的觀點(diǎn)定義圓的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點(diǎn)的軌跡；

2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過渡；

3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，反過來又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)的認(rèn)識。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：對圓點(diǎn)的軌跡的認(rèn)識。

2、難點(diǎn)：對點(diǎn)的軌跡概念的認(rèn)識，因?yàn)檫@個(gè)概念比較抽象。

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)（在老師與學(xué)生的交流對話中完成教學(xué)目標(biāo) ）

（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念

（使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識到理性知識）

觀察：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的的點(diǎn)的集合；（電腦動(dòng)畫）

理解：圓上的點(diǎn)具有兩個(gè)性質(zhì)：

 (1)圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；

(2)到定點(diǎn)距離等于定長的的點(diǎn)都在圓上；（結(jié)合下圖）

引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上．（軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點(diǎn)，這里教師要精講，細(xì)講）

上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合．因此“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡”是圓．

軌跡1：“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵）

（二）類比、研究1

（在老師指導(dǎo)下，通過電腦動(dòng)畫，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）

軌跡2：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線；

（三）鞏固概念

練習(xí)：畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：

(1)到定點(diǎn)A的距離等于3cm的點(diǎn)的軌跡；

(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡；

(3)經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓O，圓心O的軌跡．

（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖，回答滿足這個(gè)條件的軌跡是什么?歸納出每一個(gè)題的點(diǎn)的軌跡屬于哪一個(gè)基本軌跡；B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成）

（四）類比、研究2

（這是第二次“類比”，目的：使學(xué)生的知識和能力螺旋上升．這次通過電腦動(dòng)畫，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力）

軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．

（五）鞏固訓(xùn)練

練習(xí)題1：畫圖說明滿足下面條件的點(diǎn)的軌跡： 

1．到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡；

2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點(diǎn)的軌跡．

（A層學(xué)生獨(dú)立畫圖探索；然后回答出點(diǎn)的軌跡是什么，對B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時(shí)教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生）

練習(xí)題2：判斷題

1、到一條直線的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．( )

2、和點(diǎn)B的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡，是到點(diǎn)B的距離等于5cm的圓．( )

3、到兩條平行線的距離等于8cm的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線．( )

4、底邊為a的等腰三角形的頂點(diǎn)軌跡，是底邊a的垂直平分線．( )

(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語言表達(dá)的正確性．題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)

(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因?yàn)檫@部分知識屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)

（六）理解、小結(jié)

（1）軌跡的定義兩層意思；

（2）常見的五種軌跡。

（七）作業(yè) 

教材P82習(xí)題2、6．

探究活動(dòng)

愛爾特希問題

在平面上有四個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點(diǎn)嗎?

分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點(diǎn)來考慮．最容易想到的是，使一個(gè)點(diǎn)到另三個(gè)點(diǎn)等距離，換句話說，以一個(gè)點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓，其他三個(gè)點(diǎn)在此圓上尋找，只要使這圓上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.

其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個(gè)頂點(diǎn)(見圖中第3個(gè)圖).

最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實(shí)際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點(diǎn)即可(見圖中的第4個(gè)圖)．

綜上所述，符合題意的四點(diǎn)有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個(gè)頂點(diǎn)；③任意正五邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)．

上述問題是大數(shù)學(xué)家愛爾特希(P．Erdos)提出的：“在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形”中n＝4的情形．

當(dāng)n＝3、4、5、6時(shí)，愛爾特希問題都有解．已經(jīng)證明，時(shí)，問題無解．

數(shù)學(xué)教案－圓