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數(shù)學(xué)教案－圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖
第一課時(shí)
素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
1．使學(xué)生了解圓柱的特征，了解圓柱的側(cè)面、底面、高、軸、母線、過(guò)軸的截面等概念，了解圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形．
2．使學(xué)生會(huì)計(jì)算圓柱的側(cè)面積或全面積．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)
1．通過(guò)圓柱形成過(guò)程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；
2．通過(guò)圓柱側(cè)面積的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速的運(yùn)算能力；
3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能
力．
（三）德育滲透點(diǎn)
1．通過(guò)圓柱的實(shí)物觀察及有關(guān)概念的歸納向?qū)W生滲透“真知產(chǎn)生于實(shí)踐”的觀點(diǎn)；
2．通過(guò)應(yīng)用圓柱展開(kāi)圖進(jìn)行計(jì)算，解決實(shí)際問(wèn)題，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)；
3．通過(guò)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的教學(xué)，向?qū)W生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)；
4．通過(guò)圓柱軸截面的教學(xué)，向?qū)W生滲透“抓主要矛盾、抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點(diǎn)．
（四）美育滲透點(diǎn)
通過(guò)學(xué)習(xí)新知，使學(xué)生領(lǐng)略主體圖形美與平面圖形美的聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)美的認(rèn)識(shí)層次．
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：（1）圓柱的形成手段和圓柱的軸、母線、高等概念及其特征；
（2）會(huì)用展開(kāi)圖的面積公式計(jì)算圓柱的側(cè)面積和全面積．
2．難點(diǎn)：對(duì)側(cè)面積計(jì)算的理解．
3．疑點(diǎn)及解決方法：學(xué)生對(duì)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)為什么是底面圓的周長(zhǎng)有疑慮，為此教學(xué)時(shí)用模型展開(kāi)，加強(qiáng)直觀性教學(xué)．
教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
在小學(xué)，大家已學(xué)過(guò)圓柱，在生活中我們也常常遇到圓柱形的物體，涉及到圓柱形物體的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題如何計(jì)算呢？這就是今天“7．21圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖”要研究的內(nèi)容。
（二）整體感知
圓柱是生產(chǎn)、生活實(shí)際中常遇到的幾何體，它是怎樣形成的，如何計(jì)算它的表面積？為了回答上述問(wèn)題，首先在小學(xué)已具有直觀感知的基礎(chǔ)上，用矩形旋轉(zhuǎn)、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)給出圓柱體有關(guān)的一系列概念，然后利用圓柱的模型將它的側(cè)面展開(kāi)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，并能將這矩形的長(zhǎng)與寬跟圓柱的高（或母線）、底面圓半徑找到相互轉(zhuǎn)化的對(duì)應(yīng)關(guān)系．最后應(yīng)用對(duì)應(yīng)關(guān)系和面積公式進(jìn)行計(jì)算．
〔三〕教學(xué)過(guò)程
（幻燈展示生活中常遇的圓柱形物體，如：油桶、鉛筆、圓形柱子等），前面展示的物體都是圓柱．在小學(xué)，大家已學(xué)過(guò)圓柱，哪位同學(xué)能說(shuō)出圓柱有哪些特征？（安排舉手的學(xué)生回答：圓柱的兩個(gè)底面都是圓面，這兩個(gè)圓相等，側(cè)面是曲面．）
（教師演示模型并講解）：大家觀察矩形ABCD，繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是什么？（安排中下生回答：圓柱）．大家再觀察，圓柱的上、下底是由矩形的哪些線段旋轉(zhuǎn)而成的？（安排中下生回答：上底是以A為圓心，AD旋轉(zhuǎn)而成的，下底是以B為圓心，BC旋轉(zhuǎn)而成的．）上、下底面圓為什么相等？（安排中下生回答：因矩形對(duì)邊相等，所以上、下底半徑相等，所以上、下底面圓相等．）大家再觀察，圓柱的側(cè)面是矩形ABCD的哪條線段旋轉(zhuǎn)而成的？（安排中下生回答：側(cè)面由DC旋轉(zhuǎn)而成的．）
矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，直線用叫做圓柱的軸，CD叫做圓柱的母線．圓柱側(cè)面上平行于軸的線段都叫做圓柱的母線．矩形的另一組對(duì)邊AD、BC是上、下底面的半徑。
圓柱一個(gè)底面上任意一點(diǎn)到另一底面的垂線段叫做圓柱的高，哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)圓柱的母線與高有什么數(shù)量關(guān)系？（安排中下生回答：相等．）哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)圓柱上、下底面圓有什么位置關(guān)系？（安排中下生回答：平行）A、B是兩底面的圓心，直線AB是軸．哪位同學(xué)能敘述圓柱的軸的這一條性質(zhì)？（安排中等生回答：圓柱的軸通過(guò)上、下底面的圓心）哪位同學(xué)能按軸、母線、底面的順序歸納有關(guān)圓柱的性質(zhì)？（安排中上學(xué)生回答：圓柱的軸通過(guò)上、下底面的圓心，且垂直于上、下底，圓柱的母線平行于軸且長(zhǎng)都相等，等于圓柱的高，圓柱的底面圓平行且相等．）
（教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問(wèn)）：現(xiàn)在我把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開(kāi)，展在一個(gè)平面上，觀察這個(gè)側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形？（安排中下生回答，短形）這個(gè)圓柱展開(kāi)圖——矩形的兩邊分別是圓柱中的什么線段？（安排中下生回答：一邊是圓柱的母線，一邊是圓柱底面圓的周長(zhǎng)）．大家想想矩形面積公式是什么？哪位同學(xué)能歸納圓柱的面積公式？（安排中下生回答：底面圓周長(zhǎng)×圓柱母線）大家知道圓柱的母線與高相等，所以圓柱的面積公式還可怎樣表示？（安排中下生回答：）
幻燈展示［例1］ 如圖，把一個(gè)圓柱形木塊沿它的軸剖開(kāi)，得矩形ABCD．已知 ，求這個(gè)圓柱形木塊的表面積（精確到 ）．
矩形的AD邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：直徑．）題目中的哪句話暗示了AD是直徑？（安排中上生回答：第一句，“把一個(gè)圓柱形木塊沿它的軸剖開(kāi)，得矩形ABCD”．因圓柱軸過(guò)底面圓的圓心，矩形過(guò)軸則意味AD過(guò)底面圓圓心，所以AD是圓柱底面圓直徑．） cm是告訴了圓柱的什么線段等于30cm？（安排中下生回答：圓柱的高等于30cm）什么是圓柱的表面積？哪位同學(xué)知道？（安排中上生回答：圓柱側(cè)面積與兩底面圓面積的和．）同學(xué)們請(qǐng)完成這道應(yīng)用題．（安排一中上生上黑板做題，其余在練習(xí)本做）
解：AD是圓柱底面的直徑，AB是圓柱母線，設(shè)圓柱的表面積為S，則
答：這個(gè)圓柱形木塊的表面積約為 ．
幻燈展示［例2］ 用一張面積為 的正方形硬紙片圍成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的底面直徑（精確到0.1cm）．
請(qǐng)同學(xué)們?nèi)文靡徽叫渭埰瑖鷩矗奈煌瑢W(xué)發(fā)現(xiàn)正方形相鄰兩邊，一邊是圓柱的什么線段，另一邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：一邊是母線，另一邊是底面圓周長(zhǎng)．）
此題要求的是底面圓直徑，所以只要求出正方形的什么即可？（安排中下生回答：邊長(zhǎng)．）邊長(zhǎng)可求嗎：（安排中下生回答：可求，因?yàn)橐阎薪o了正方形的面積．）
請(qǐng)同學(xué)們完成此題．（安排一中等生上黑板完成，其余在練習(xí)本上完成）
解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，圓柱底面直徑為d．
則 ，依題意 （cm）
答：這個(gè)圓柱的底面的直徑約為9.6cm．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
本節(jié)課學(xué)習(xí)了圓柱的形成、圓柱的概念、圓柱的性質(zhì)、圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及其面積計(jì)算．
然后按總結(jié)順序；依次提問(wèn)學(xué)生，此過(guò)程應(yīng)重點(diǎn)提問(wèn)中下生．
布置作業(yè)
教材P．187練習(xí)1、2；P．192中2、3、4。
九、板書(shū)設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識(shí)教育點(diǎn)
1．使學(xué)生了解圓錐的特征，了解圓錐的側(cè)面、底面、高、軸、母線、過(guò)軸的截面等概念，了解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形。
2．使學(xué)生會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積或全面積。
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)
1．通過(guò)圓錐的形成過(guò)程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；
2．通過(guò)圓錐的面積計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力；
3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能
力．
（三）德育滲透點(diǎn)
1．通過(guò)圓錐的實(shí)物觀察及有關(guān)概念的歸納向?qū)W生滲透“實(shí)踐出真知”的觀念；
2．通過(guò)應(yīng)用圓錐展示圖的計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)；
3．通過(guò)圓錐側(cè)面展示圖的教學(xué)，向?qū)W生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)；
4．通過(guò)圓錐軸截面的教學(xué)，向?qū)W生滲透“抓主要矛盾，抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點(diǎn)．
（四）美育滲透點(diǎn)
通過(guò)學(xué)習(xí)新知，使學(xué)生進(jìn)一步完整對(duì)幾何美的認(rèn)識(shí)，提高美育層次．
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：（1）圓錐的形成過(guò)程和圓錐的軸、母線、高等概念及其性質(zhì)；
（2）會(huì)進(jìn)行圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算，計(jì)算圓錐的表面積．
2．難點(diǎn)：準(zhǔn)確進(jìn)行圓錐有關(guān)數(shù)據(jù)與展開(kāi)圖有關(guān)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化．
3．疑點(diǎn)及解決方法：由于學(xué)生空間想象能力較弱，對(duì)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，用扇形一定可以圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面有疑惑，為此安排學(xué)生課前或課上或課下自己動(dòng)手剪剪看或圍圍看，通過(guò)實(shí)踐解決疑點(diǎn)．
教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
在小學(xué)，同學(xué)們除了學(xué)習(xí)圓柱之外還學(xué)習(xí)了一個(gè)幾何體——圓錐，在生活中我們也常常遇到圓錐形的物體，涉及到這些物體表面積的計(jì)算．這些圓錐形物體的表面積是怎樣計(jì)算出來(lái)的？這就是本節(jié)課“7．21圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖”所要研究的內(nèi)容．
（二）整體感如
和圓柱一樣，圓錐也是日常生活或?qū)嵺`活動(dòng)中常見(jiàn)物體，在學(xué)生學(xué)過(guò)圓柱的有關(guān)計(jì)算后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐的有關(guān)計(jì)算，不僅對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念有好處，而且能使學(xué)生體會(huì)到用平面幾何知識(shí)可以解決立體圖形的計(jì)算，為學(xué)習(xí)立體幾何打基礎(chǔ)．
圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖不僅用于圓錐表面積的計(jì)算，而且在生產(chǎn)中常用于畫(huà)圖下料上，因此圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是本課的重點(diǎn)．
本課首先在小學(xué)已具有圓錐直觀感知的基礎(chǔ)上，用直角三角形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)給出圓錐的一系列概念，然后利用圓錐的模型，把其側(cè)面展開(kāi)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，并能將圓錐的有關(guān)元素與展開(kāi)圖扇形的有關(guān)元素進(jìn)行相互間的轉(zhuǎn)化，最后應(yīng)用圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖之間對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．
（三）教學(xué)過(guò)程
［幻燈展示生活中常遇的圓錐形物體，如：鉛錘、糧堆、煙囪帽］前面屏幕上展示的物體都是什么幾何體？［安排回憶起的學(xué)生回答：圓錐］在小學(xué)我們已學(xué)過(guò)圓錐，哪位同學(xué)能說(shuō)出圓錐有哪些特征？安排舉手的學(xué)生回答：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的，圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓的距離是圓錐的高。
［教師邊演示模型，邊講解］：大家觀察Rt ，繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是什么？［安排中下生回答：圓錐．］大家觀察圓錐的底面，它是Rt 的哪條邊旋轉(zhuǎn)而成的？［安排中下生回答：OA］圓錐的側(cè)面是Rt 的什么邊旋轉(zhuǎn)而得的？［安排中下生回答，斜邊］，因圓錐是Rt 繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的，與圓柱相類(lèi)似，直線SO應(yīng)叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：軸．］大家觀察圓錐的軸SO應(yīng)具有什么性質(zhì)？［安排學(xué)生稍加討論，舉手發(fā)言：圓錐的軸過(guò)底面圓的圓心，且與底面圓垂直，軸上連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的線段就是圓錐的高．］圓錐的側(cè)面是Rt 的斜邊繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的，同圓柱相類(lèi)似，斜邊SA應(yīng)叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］給一圓錐，如何找到它的母線？［安排中上生回答：連結(jié)圓錐頂點(diǎn)與底面圓任意一點(diǎn)的線段都是母線．］圓錐的母線應(yīng)具有什么性質(zhì)？［安排中下生回答：圓錐的母線長(zhǎng)都相等．］
［教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問(wèn)］：現(xiàn)在我把這圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開(kāi)，展在一個(gè)平面上，哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)這個(gè)展開(kāi)圖是什么圖形？［安排中下生回答：扇形．］請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察：并回答：1．圓錐展示圖——扇形的弧長(zhǎng)l等于圓錐底面圓的什么？扇形的半徑其實(shí)是圓錐的什么線段？［安排中下生回答：扇形的弧長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，即 ，扇形的半徑。就是圓錐的母線］由于 ，圓錐半徑已知?jiǎng)t展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)已知，圓錐母線已知?jiǎng)t展開(kāi)圖扇形的半徑已知，因此展開(kāi)圖扇形的面積可求，而這個(gè)扇形的面積實(shí)質(zhì)就是圓錐的側(cè)面積，因此圓錐的側(cè)面積也就可求．當(dāng)然展開(kāi)圖扇形的圓心角也可求．
［教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問(wèn)］：如圖，現(xiàn)在將圓錐沿著它的軸剖開(kāi)，哪位同學(xué)回答，經(jīng)過(guò)軸的剖面是一個(gè)什么圖形？［安排中下生回答：等腰三角形．］這個(gè)等腰三角形的腰與底分別是圓錐的什么？［安排中下生回答：腰是圓錐的母線，底是圓錐的直徑．這個(gè)等腰三角形的高也就是圓錐的什么？［安排中下生回答：高］．這個(gè)經(jīng)過(guò)軸的剖面，我們稱之謂“軸截面”，在軸截面里包含了有關(guān)圓錐的所有元素：軸、高、母線，底面圓半徑．這個(gè)等腰三角形的頂角，我們稱之謂“錐角”，大家不難發(fā)現(xiàn)圓錐的母線、高、底面圓半徑及 錐角構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，它給定旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的那個(gè)直角三角形，當(dāng)然給定半徑、母線；圓錐側(cè)面展開(kāi)圖——扇形的面積、圓心角可求、因此可以說(shuō)有關(guān)圓錐的計(jì)算問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是解這個(gè)直角三角形的問(wèn)題．
幻燈展示例題：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長(zhǎng)50cm，（1）計(jì)算這個(gè)展開(kāi)圖的圓心角及面積；（2）畫(huà)出它的展開(kāi)圖．
要計(jì)算展開(kāi)圖的面積，哪位同學(xué)知道展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的什么？［安排中下生回答：周長(zhǎng)．［展開(kāi)圖形的半徑是圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］
請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算這個(gè)展開(kāi)圖的面積．［安排一中等生上黑板完成，其余學(xué)生在練習(xí)本上做．］
解：圓錐底面圓直徑80cm，∴底面圓周長(zhǎng) cm，又母線長(zhǎng)50cm ∴展開(kāi)圖扇形的半徑50cm，弧長(zhǎng) cm�！�
哪位同學(xué)到前面計(jì)算一下這個(gè)扇形的圓心角？［安排一名中下生上前，其余在練習(xí)本上做］
解： 且 ， ，∴ （度）。
同學(xué)討論一下這個(gè)扇形怎樣畫(huà)？［安排一中上學(xué)生回答：首先畫(huà)一個(gè)半徑為50cm的圓⊙S．然后用量角器作出72°的圓心角，則 為弧的扇形，r就是所要畫(huà)的展開(kāi)圖．］
幻燈展開(kāi)例題：圖中所示是一圓錐形的零件經(jīng)過(guò)軸的剖面，它的腰長(zhǎng)等于圓錐的母線長(zhǎng)，底邊長(zhǎng)等于圓錐底面的直徑，按圖中標(biāo)明的尺寸（單位mm），求：
（1）圓錐形零件的母線長(zhǎng)l；
（2）錐角（即等腰三角形的頂角） ；
（3）零件的表面積．
圖中給出等腰三角形的哪些尺寸？［安排中下生回答：高40，底邊長(zhǎng)34］哪位同學(xué)會(huì)計(jì)算圓錐形零件的母線長(zhǎng)l？［安排一中等生上黑板，其余同學(xué)練習(xí)本上做］［答案： mm］錐角 打算如何求？［安排一中等生回答：解Rt 求出 ， 的對(duì)邊DB，鄰邊SD已知∴選 的正切．］請(qǐng)同學(xué)們求出 ．［安排一中等生上黑板，其余在練習(xí)本上做］，［答案： ］
零件的表面積等于什么？［安排中下生回答：圓錐的側(cè)面積加上底面圓面積．］計(jì)算圓錐側(cè)面積所需條件已具備了嗎？計(jì)算底面圓面積所需條件呢？［安排中下生回答， ］
請(qǐng)同學(xué)們把表面積求出來(lái)．［ ］
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，本堂課我們學(xué)了些什么知識(shí)？［可安排中下生相互補(bǔ)充完整：1．圓錐的特征；2．圓錐的形成及有關(guān)概念；3．圓錐的展示圖；4．圓錐的軸截面。］
布置作業(yè)
教材P．191：練習(xí)1、2；P．193中5、6、7、8。
板書(shū)設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)教案－圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖
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