高中數(shù)學函數(shù)的圖象教案

　　作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師，就難以避免地要準備教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么問題來了，教案應該怎么寫？下面是小編為大家收集的高中數(shù)學函數(shù)的圖象教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

高中數(shù)學函數(shù)的圖象教案1

　　整體設(shè)計

　　教學分析

　　本節(jié)通過圖象變換，揭示參數(shù)φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象的形狀和位置的影響，討論函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關(guān)系，以及A、ω、φ的物理意義，并通過圖象的變化過程，進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.這節(jié)是本章的一個難點.

　　如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y=sinx來獲取函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象呢?通過引導學生對函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的探索，讓學生體會到由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后，將影響圖象變換這一難點的突破，讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數(shù)φ、ω、A的分類討論，讓學生深刻認識圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.

　　本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導學生自主探究，在教師的引導下，通過圖象變換和“五點”作圖法，正確找出函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，這也是本節(jié)課的重點所在.

　　三維目標

　　1.通過學生自主探究，理解φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響，ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響，A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.

　　2.通過探究圖象變換，會用圖象變換法畫出y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖，并會用“五點法”畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖.

　　3.通過學生對問題的自主探究，滲透數(shù)形結(jié)合思想.培養(yǎng)學生的獨立意識和獨立思考能力.學會合作意識，培養(yǎng)學生理解動與靜的辯證關(guān)系，善于從運動的觀點觀察問題，培養(yǎng)學生解決問題抓主要矛盾的思想.在問題逐步深入的研究中喚起學生追求真理，樂于創(chuàng)新的情感需求，引發(fā)學生渴求知識的強烈愿望，樹立科學的人生觀、價值觀.

　　重點難點

　　教學重點:用參數(shù)思想分層次、逐步討論字母φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象的形狀和位置的影響，掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖的作法.

　　教學難點:由正弦曲線y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　第1課時

　　導入新課

　　思路1.(情境導入)在物理和工程技術(shù)的許多問題中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)(其中A、ω、φ是常數(shù)).例如，物體做簡諧振動時位移y與時間x的關(guān)系，交流電中電流強度y與時間x的關(guān)系等，都可用這類函數(shù)來表示.這些問題的實際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出，因此，我們有必要畫好這些函數(shù)的圖象.揭示課題:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.

　　思路2.(直接導入)從解析式來看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關(guān)系?從圖象上看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關(guān)系?接下來，我們就分別探索φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　�、儆^察交流電電流隨時間變化的圖象，它與正弦曲線有何關(guān)系？你認為可以怎樣討論參數(shù)φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響？

　�、诜謩e在y=sinx和y=sin(x+)的圖象上各恰當?shù)剡x取一個縱坐標相同的點，同時移動這兩點并觀察其橫坐標的變化，你能否從中發(fā)現(xiàn)，φ對圖象有怎樣的影響？對φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的圖象，看看與y＝sinx的圖象是否有類似的關(guān)系？

　　③請你概括一下如何從正弦曲線出發(fā)，經(jīng)過圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象.

　　④你能用上述研究問題的方法，討論探究參數(shù)ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響嗎？為了作圖的方便，先不妨固定為φ=，從而使y=sin(ωx+φ)在ω變化過程中的比較對象固定為y=sin(x+).

　　⑤類似地，你能討論一下參數(shù)A對y=sin(2x+)的圖象的影響嗎？為了研究方便，不妨令ω=2，φ=.此時，可以對A任取不同的值，利用計算器或計算機作出這些函數(shù)在同一坐標系中的圖象，觀察它們與y=sin(2x+)的圖象之間的關(guān)系.

　　⑥可否先伸縮后平移？怎樣先伸縮后平移的？

　　活動:問題①，教師先引導學生閱讀課本開頭一段，教師引導學生思考研究問題的方法.同時引導學生觀察y=sin(x+)圖象上點的坐標和y=sinx的圖象上點的坐標的關(guān)系，獲得φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的具體認識.然后通過計算機作動態(tài)演示變換過程，引導學生觀察變化過程中的不變量，得出它們的橫坐標總是相差的結(jié)論.并讓學生討論探究.最后共同總結(jié)出:先分別討論參數(shù)φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響，然后再整合.

　　圖1

　　問題②，由學生作出φ取不同值時，函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象，并探究它與y=sinx的圖象的關(guān)系，看看是否仍有上述結(jié)論.教師引導學生獲得更多的關(guān)于φ對y=sin(x+φ)的圖象影響的經(jīng)驗.為了研究的方便，不妨先取φ=，利用計算機作出在同一直角坐標系內(nèi)的圖象，如圖1，分別在兩條曲線上恰當?shù)剡x取一個縱坐標相同的點A、B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并保持它們的縱坐標相等，觀察它們橫坐標的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個y值，y=sin(x+)的圖象上的點的橫坐標總是等于y=sinx的圖象上對應點的橫坐標減去.這樣的過程可通過多媒體課件，使得圖中A、B兩點動起來(保持縱坐標相等)，在變化過程中觀察A、B的坐標、xB-xA、|AB|的變化情況，這說明y=sin(x+)的圖象，可以看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平移個單位長度而得到的，同時多媒體動畫演示y=sinx的圖象向左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過程，以加深學生對該圖象變換的直觀理解.再取φ=，用同樣的方法可以得到y(tǒng)=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重合.

　　如果再變換φ的值，類似的情況將不斷出現(xiàn)，這時φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學生關(guān)于φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓.

　　問題③，引導學生通過自己的研究認識φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響，并概括出一般結(jié)論:

　　y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到.

　　問題④，教師指導學生獨立或小組合作進行探究，教師作適當指導.注意提醒學生按照從具體到一般的思路得出結(jié)論，具體過程是:(1)以y=sin(x+)為參照，把y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較，取點A、B觀察.發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

　　圖2

　　如圖2，對于同一個y值，y=sin(2x+)的圖象上點的橫坐標總是等于y=sin(x+)的圖象上對應點的倍.教學中應當非常認真地對待這個過程，展示多媒體課件，體現(xiàn)伸縮變換過程，引導學生在自己獨立思考的基礎(chǔ)上給出規(guī)律.(2)取ω=，讓學生自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學中可以讓學生通過作圖、觀察和比較圖象、討論等活動，得出結(jié)論:把y=sin(x+)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，就得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.

　　當取ω為其他值時，觀察相應的函數(shù)圖象與y=sin(x+)的圖象的關(guān)系，得出類似的結(jié)論.這時ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學生關(guān)于ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓.教師指導學生將上述結(jié)論一般化，歸納y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間的關(guān)系，得出結(jié)論:

　　函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.

　　圖3

　　問題⑤，教師點撥學生，探索A對圖象的影響的過程，與探索ω、φ對圖象的影響完全一致，鼓勵學生獨立完成.學生觀察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)的圖象之間的關(guān)系.如圖3，分別在兩條曲線上各取一個橫坐標相同的點A、B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并使它們的橫坐標保持相同，觀察它們縱坐標的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個x值，函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象上的點的縱坐標等于函數(shù)y=sin(2x+)的圖象上點的縱坐標的3倍.這說明，y=3sin(2x+)的圖象，可以看作是把y=sin(2x+)的圖象上所有的點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)而得到的通過實驗可以看到，A取其他值時也有類似的情況.有了前面兩個參數(shù)的探究，學生得出一般結(jié)論:

　　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0 由此我們得到了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象變化的影響情況.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作用下面的方法得到:先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象;再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋�，得到函�?shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，這時的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.

　　⑥引導學生類比得出.其順序是:先伸縮橫坐標(或縱坐標)，再伸縮縱坐標(或橫坐標)，最后平移.但學生很容易在第三步出錯，可在圖象變換時，對比變換，以引起學生注意，并體會一些細節(jié).

　　由此我們完成了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象影響的探究.教師適時地引導學生回顧思考整個探究過程中體現(xiàn)的思想:由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想.

　　討論結(jié)果:①把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程，分解為先分別考察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象的影響，然后整合為對y=Asin(ωx+φ)的整體考察.

　�、诼�.

　�、蹐D象左右平移，φ影響的是圖象與x軸交點的位置關(guān)系.

　�、芸v坐標不變，橫坐標伸縮，ω影響了圖象的形狀.

　�、輽M坐標不變，縱坐標伸縮，A影響了圖象的形狀.

　　⑥可以.先伸縮后平移(提醒學生盡量先平移)，但要注意第三步的平移.

　　y=sinx的圖象

　　得y=Asinx的圖象

　　得y=Asin(ωx)的圖象

　　得y=Asin(ωx+φ)的圖象.

　　規(guī)律總結(jié):

　　先平移后伸縮的步驟程序如下:

　　y=sinx的圖象

　　得y=sin(x+φ)的圖象

　　得y=sin(ωx+φ)的圖象

　　得y=Asin(ωx+φ)的圖象.

　　先伸縮后平移的步驟程序(見上).

　　應用示例

　　例1 畫出函數(shù)y=2sin(x-)的簡圖.

　　活動:本例訓練學生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學知識方法.

　　(1)引導學生從圖象變換的角度來探究，這里的φ＝，ω＝，A＝2，鼓勵學生根據(jù)本節(jié)所學內(nèi)容自己寫出得到y(tǒng)=2sin(x-)的圖象的過程:只需把y＝sinx的曲線上所有點向右平行移動個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把后者所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)而得到函數(shù)y=2sin(x-)的圖象，如圖4所示.

　　圖4

　　(2)學生完成以上變換后，為了進一步掌握圖象的變換規(guī)律，教師可引導學生作換個順序的圖象變換，要讓學生自己獨立完成，仔細體會變化的實質(zhì).

　　(3)學生完成以上兩種變換后，就得到了兩種畫函數(shù)y=2sin(x-)，簡圖的方法，教師再進一步的啟發(fā)學生能否利用“五點法”作圖畫出函數(shù)y=2sin(x-)的簡圖，并鼓勵學生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程.

　　解:方法一:畫出函數(shù)y=2sin(x-)簡圖的方法為

　　y=sinxy=sin(x-)

　　y=sin(x-)

　　y=2sin(x-).

　　方法二:畫出函數(shù)y=2sin(x-)簡圖的又一方法為

　　y=sinxy=sinx

　　y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).

　　方法三:(利用“五點法”作圖——作一個周期內(nèi)的圖象)

　　令X=x-，則x=3(X+).列表:

　　X

　　π

　　2π

　　X

　　2π

　　5π

　　Y

　　2

　　-2

　　描點畫圖，如圖5所示.

　　圖5

　　點評:學生獨立完成以上探究后，對整個的圖象變換及“五點法”作圖會有一個新的認識.但教師要強調(diào)學生注意方法二中第三步的變換，左右平移變換只對“單個”x而言，這點是個難點，學生極易出錯.對于“五點法”作圖，要強調(diào)這五個點應該是使函數(shù)取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點.找出它們的方法是先作變量代換，設(shè)X=ωx+φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π來確定對應的x值.

　　變式訓練

　　1.20xx山東威海一模統(tǒng)考，12 要得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象( )

　　A.向左平移個單位，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

　　B.向右平移個單位，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

　　C.向左平移個單位，再把所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變

　　D.向右平移個單位，再把所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變

　　答案:C

　　2.20xx山東菏澤一模統(tǒng)考，7 要得到函數(shù)y=2sin(3x)的圖象，只需將函數(shù)y＝2sin3x的圖象( )

　　A.向左平移個單位 B.向右平移個單位

　　C.向左平移個單位 D.向右平移個單位

　　答案:D

　　例2 將y=sinx的圖象怎樣變換得到函數(shù)y=2sin(2x+)+1的圖象?

　　活動:可以用兩種圖象變換得到.但無論哪種變換都是針對字母x而言的由y=sin2x的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+)，把y=sin(x+)的圖象的橫坐標縮小到原來的，得到的函數(shù)圖象的解析式是y=sin(2x+)，而不是y=sin2(x+).

　　解:方法一:①把y=sinx的圖象沿x軸向左平移個單位長度，得y=sin(x+)的圖象；②將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得y=sin(2x+)的圖象；③將所得圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得y=2sin(2x+)的圖象；④最后把所得圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+1的圖象.

　　方法二:①把y=sinx的圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得y=2sinx的圖象；②將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得y=2sin2x的圖象；③將所得圖象沿x軸向左平移個單位長度，得y=2sin2(x+)的圖象；④最后把圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)=2sin(2x+)+1的圖象.

　　點評:三角函數(shù)圖象變換是個難點.本例很好地鞏固了本節(jié)所學知識方法，關(guān)鍵是教師引導學生理清變換思路和各種變換對解析式的影響.

　　變式訓練

　　1.將y=sin2x的圖象怎樣變換得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象?

　　解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).

　　在y=cos(2x-)中以x-a代x，有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根據(jù)題意，有2x-2a-=2x-，得a=-.

　　所以將y=sin2x的圖象向左平移個單位長度可得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象.

　　2.如何由函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象得到函數(shù)y=sinx的圖象？

　　方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)

　　y=sin(x+)y=sinx.

　　方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x

　　y=sin2xy=sinx.

　　3.20xx山東高考，4 要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)y=cos(x-)的圖象( )

　　A.向右平移個單位 B.向右平移個單位

　　C.向左平移個單位 D.向左平移個單位

　　答案:A

　　知能訓練

　　課本本節(jié)練習1、2.

　　解答:

　　1.如圖6.

　　點評:第(1)(2)(3)小題分別研究了參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖象的影響，第(4)小題則綜合研究了這三個參數(shù)對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.

　　2.(1)C;(2)B;(3)C.

　　點評:判定函數(shù)y=A1sin(ω1x+φ1)與y=A2sin(ω2x+φ2)的圖象間的關(guān)系.為了降低難度，在A1與A2，ω1與ω2，φ1與φ2中，每題只有一對數(shù)值不同.

　　課堂小結(jié)

　　1.由學生自己回顧總結(jié)本節(jié)課探究的知識與方法，以及對三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)解析式的新的認識，使本節(jié)的總結(jié)成為學生凝練提高的平臺.

　　2.教師強調(diào)本節(jié)課借助于計算機討論并畫出y=Asin(ωx+)的圖象，并分別觀察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象變化的影響，同時通過具體函數(shù)的圖象的變化，領(lǐng)會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想.

　　作業(yè)

　　1.用圖象變換的方法在同一坐標系內(nèi)由y=sinx的圖象畫出函數(shù)y=sin(-2x)的圖象.

　　2.要得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象通過怎樣的變換得到?

　　3.指出函數(shù)y=cos2x+1與余弦曲線y=cosx的關(guān)系.

　　解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x，作圖過程:

　　y=sinxy=sin2xy=sin2x.

　　2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)，

　　∴將曲線y=sin2x向左平移個單位長度即可.

　　3.∵y=cos2x+1，

　　∴將余弦曲線y=cosx上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再將所得曲線上所有的點向上平移1個單位長度，即可得到曲線y=cos2x+1.

　　設(shè)計感想

　　1.本節(jié)圖象較多，學生活動量大，因此本節(jié)設(shè)計的主要指導思想是充分利用信息技術(shù)工具，從整體上探究參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象整體變化的影響.這符合新課標精神，符合教育課改新理念.現(xiàn)代教育要求學生在富有的學習動機下主動學習，合作探究，教師僅是學生主動學習的激發(fā)者和引導者.

　　2.對于函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象間的變換，由于“平移變換”與“伸縮變換”在“順序”上的差別，直接會對圖象平移量產(chǎn)生影響，這點也是學習三角函數(shù)圖象變換的難點所在，設(shè)計意圖旨在通過對比讓學生領(lǐng)悟它們的異同.

　　3.學習過程是一個認知過程，學生內(nèi)部的認知因素和學習情景的因素是影響學生認知結(jié)構(gòu)的變量.如果學生本身缺乏學習動機和原有的認知結(jié)構(gòu)，外部的變量就不能發(fā)揮它們的作用，但外部變量所提供的刺激也能使內(nèi)部能力引起學習.

　　(設(shè)計者:張云全)

　　第2課時

　　導入新課

　　思路1.(直接導入)上一節(jié)課中，我們分別探索了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響及“五點法”作圖.現(xiàn)在我們進一步熟悉掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的圖象變換及其物理背景.由此展開新課.

　　思路2.(復習導入)請同學們分別用圖象變換及“五點作圖法”畫出函數(shù)y=4sin(x-)的簡圖，學生動手畫圖，教師適時的點撥、糾正，并讓學生回答有關(guān)的問題.在學生回顧與復習上節(jié)所學內(nèi)容的基礎(chǔ)上展開新課.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　�、僭谏瞎�(jié)課的學習中，用“五點作圖法”畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時，列表中最關(guān)鍵的步驟是什么？

　�、�(1)把函數(shù)y＝sin2x的圖象向_____平移_____個單位長度得到函數(shù)y＝sin(2x－)的圖象；(2)把函數(shù)y＝sin3x的圖象向_______平移_______個單位長度得到函數(shù)y＝sin(3x＋)的圖象；(3)如何由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到函數(shù)y＝sin(2x+)的圖象？

　　③將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度，所得到的曲線是y=sinx的圖象，試求函數(shù)y=f(x)的解析式.

　　對這個問題的求解現(xiàn)給出以下三種解法，請說出甲、乙、丙各自解法的正誤.(多媒體出示各自解法)

　　甲生:所給問題即是將y=sinx的圖象先向右平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象，再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到y(tǒng)=sin(2x-)，即y=cos2x的圖象，∴f(x)=cos2x.

　　乙生:設(shè)f(x)=Asin(ωx+φ)，將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=Asin(x+φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=Asin(x++φ)=sinx，∴A=，=1，+φ=0，

　　即A=，ω=2，φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.

　　丙生:設(shè)f(x)=Asin(ωx+φ)，將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=Asin(x+φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx，

　　∴A=，=1，+φ=0.

　　解得A=，ω=2，φ=-，

　　∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.

　　活動:問題①，復習鞏固已學三種基本變換，同時為導入本節(jié)課重、難點創(chuàng)設(shè)情境.讓學生回答并回憶A、ω、φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象變化的影響.引導學生回顧“五點作圖法”，既復習了舊知識，又為學生準確使用本節(jié)課的工具提供必要的保障.

　　問題②，讓學生通過實例綜合以上兩種變換，再次回顧比較兩種方法平移量的區(qū)別和導致這一現(xiàn)象的根本原因，以此培養(yǎng)訓練學生變換的逆向思維能力，訓練學生對變換實質(zhì)的理解及使用誘導公式的綜合能力.

　　問題③，甲生的解法是考慮以上變換的“逆變換”，即將以上變換倒過來，由y=sinx變換到y(tǒng)=f(x)，解答正確.乙、丙兩名同學都是采用代換法，即設(shè)y=Asin(ωx+φ)，然后按題設(shè)中的變換得到兩次變換后圖象的函數(shù)解析式，這種思路清晰，但值得注意的是:乙生的解答過程中存在實質(zhì)性的錯誤，就是將y=Asin(x+φ)的圖象向左平移個單位長度時，把y=Asin(x+φ)函數(shù)中的自變量x變成x+，應該變換成y=Asin[(x+)+φ]，而不是變換成y=Asin(x++φ)，雖然結(jié)果一樣，但這是巧合，丙同學的解答是正確的

　　三角函數(shù)圖象的“逆變換”一定要注意其順序，比如甲生解題的過程中如果交換了順序就會出錯，故在對這種方法不是很熟練的情況下，用丙同學的解法較合適(即待定系數(shù)法).平移變換是對自變量x而言的，比如乙同學的變換就出現(xiàn)了這種錯誤.

　　討論結(jié)果:①將ωx+φ看作一個整體，令其分別為0， ，π， ，2π.

　　②(1)右， ；(2)左， ；(3)先y＝sinx的圖象左移，再把所有點的橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變).

　�、勐�.

　　提出問題

　　①回憶物理中簡諧運動的相關(guān)內(nèi)容，并閱讀本章開頭的簡諧運動的圖象，你能說出簡諧運動的函數(shù)關(guān)系嗎？

　�、诨貞浳锢碇泻喼C運動的相關(guān)內(nèi)容，回答:振幅、周期、頻率、相位、初相等概念與A、ω、φ有何關(guān)系.

　　活動:教師引導學生閱讀并適時點撥.通過讓學生回憶探究，建立與物理知識的聯(lián)系，了解常數(shù)A、ω、φ與簡諧運動的某些物理量的關(guān)系，得出本章開頭提到的“簡諧運動的圖象”所對應的函數(shù)解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān):A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離;這個簡諧運動的周期是T=，這是做簡諧運動的'物體往復運動一次所需要的時間;這個簡諧運動的頻率由公式f==給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù);ωx+φ稱為相位;x=0時的相位φ稱為初相.

　　討論結(jié)果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.

　　②略.

　　應用示例

　　例1 圖7是某簡諧運動的圖象.試根據(jù)圖象回答下列問題:

　　(1)這個簡諧運動的振幅、周期和頻率各是多少?

　　(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動?如從A點算起呢?

　　(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式.

　　圖7

　　活動:本例是根據(jù)簡諧運動的圖象求解析式.教師可引導學生再次回憶物理學中學過的相關(guān)知識，并提醒學生注意本課開始時探討的知識，思考y=Asin(ωx+φ)中的參數(shù)φ、ω、A在圖象上是怎樣反映的，要解決這個問題，關(guān)鍵要抓住什么.關(guān)鍵是搞清φ、ω、A等參數(shù)在圖象上是如何得到反映的讓學生明確解題思路，是由形到數(shù)地解決問題，學會數(shù)形結(jié)合地處理問題.完成解題后，教師引導學生進行反思學習過程，概括出研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的思想方法，找兩名學生闡述思想方法，教師作點評、補充.

　　解:(1)從圖象上可以看到，這個簡諧運動的振幅為2 cm;周期為0.8 s;頻率為.

　　(2)如果從O點算起，到曲線上的D點，表示完成了一次往復運動;如果從A點算起，則到曲線上的E點，表示完成了一次往復運動.

　　(3)設(shè)這個簡諧運動的函數(shù)表達式為y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，

　　那么A=2;由=0.8，得ω=;由圖象知初相φ=0.

　　于是所求函數(shù)表達式是y=2sinx，x∈［0，+∞).

　　點評:本例的實質(zhì)是由函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，要抓住關(guān)鍵點.應用數(shù)學中重要的思想方法——數(shù)形結(jié)合的思想方法，應讓學生熟練地掌握這種方法.

　　變式訓練

　　函數(shù)y=6sin(x-)的振幅是，周期是____________，頻率是____________，初相是___________，圖象最高點的坐標是_______________.

　　解:6 8π (8kπ+，6)(k∈Z)

　　例2 若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)在其一個周期內(nèi)的圖象上有一個最高點(，3)和一個最低點(，-5)，求這個函數(shù)的解析式.

　　活動:讓學生自主探究題目中給出的條件，本例中給出的實際上是一個圖象，它的解析式為y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)，這是學生未遇到過的教師應引導學生思考它與y=Asin(ωx+φ)的圖象的關(guān)系，它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的圖象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|個單位.由圖象可知，取最大值與最小值時相應的x的值之差的絕對值只是半個周期.這里φ的確定學生會感到困難，因為題目中畢竟沒有直接給出圖象，不像例1那樣能明顯地看出來，應告訴學生一般都會在條件中注明|φ|<π，如不注明，就取離y軸最近的一個即可.

　　解:由已知條件，知ymax=3，ymin=-5，

　　則A=(ymax-ymin)=4，B= (ymax+ymin)=-1，=-=.

　　∴T=π，得ω=2.

　　故有y=4sin(2x+φ)-1.

　　由于點(，3)在函數(shù)的圖象上，故有3=4sin(2×+φ)-1，

　　即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<，故取+φ=.∴φ=.

　　故所求函數(shù)的解析式為y=4sin(2x+)-1.

　　點撥:這是數(shù)形結(jié)合的又一典型應用，應讓學生明了，題中無圖但腦中應有圖或根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖象可直接求得A、ω，進而求得初相φ，但要注意初相φ的確定.求初相也是這節(jié)課的一個難點.

　　變式訓練

　　已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)一個周期的圖象如圖8所示，求函數(shù)的解析式.

　　解:根據(jù)“五點法”的作圖規(guī)律，認清圖象中的一些已知點屬于五點法中的哪一點，而選擇對應的方程ωxi+φ=0，，π，，2π(i=1，2，3，4，5)，得出φ的值.

　　方法一:由圖知A=2，T=3π，

　　由=3π，得ω=，∴y=2sin(x+φ).

　　由“五點法”知，第一個零點為(，0)，

　　∴·+φ=0葒=-，

　　故y=2sin(x-).

　　方法二:得到y(tǒng)=2sin(x+φ)同方法一.

　　由圖象并結(jié)合“五點法”可知，(，0)為第一個零點，(，0)為第二個零點.

　　∴·+φ=π葒=.

　　∴y=2sin(x-).

　　點評:要熟記判斷“第一點”和“第二點”的方法，然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.

　　2.20xx海南高考，3函數(shù)y=sin(2x-)在區(qū)間［，π］上的簡圖是( )

　　圖9

　　答案:A

　　知能訓練

　　課本本節(jié)練習3、4.

　　3.振幅為，周期為4π，頻率為.先將正弦曲線上所有的點向右平行移動個單位長度，再在縱坐標保持不變的情況下將各點的橫坐標伸長到原來的2倍，最后在橫坐標保持不變的情況下將各點的縱坐標縮短到原來的倍.

　　點評:了解簡諧運動的物理量與函數(shù)解析式的關(guān)系，并認識函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關(guān)系.

　　4..把正弦曲線在區(qū)間［，+∞)的部分向左平行移動個單位長度，就可得到函數(shù)y=sin(x+)，x∈［0，+∞)的圖象.

　　點評:了解簡諧運動的物理量與函數(shù)解析式的關(guān)系，并認識函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象與正弦曲線的關(guān)系.

　　課堂小結(jié)

　　1.由學生自己回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識:簡諧運動的有關(guān)概念.本節(jié)學習的數(shù)學方法:由簡單到復雜、特殊到一般、具體到抽象的化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，待定系數(shù)法，數(shù)學的應用價值.

　　2.三角函數(shù)圖象變換問題的常規(guī)題型是:已知函數(shù)和變換方法，求變換后的函數(shù)或圖象，這種題目的解題的思路是:如果函數(shù)同名則按兩種變換方法的步驟進行即可；如果函數(shù)不同名，則將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，且需x的系數(shù)相同.左右平移時，如果x前面的系數(shù)不是1，需將x前面的系數(shù)提出，特別是給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的題型.有時從尋找“五點法”中的第一零點(，0)作為突破口，一定要從圖象的升降情況找準第一零點的位置.

　　作業(yè)

　　把函數(shù)y=cos(3x+)的圖象適當變動就可以得到y(tǒng)=sin(-3x)的圖象，這種變動可以是( )

　　A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移

　　解:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-)]，

　　∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y(tǒng)=sin(-3x)的圖象.

　　答案:D

　　點評:本題需逆推，教師在作業(yè)講評時應注意加強學生逆向思維的訓練.如本題中的-3x需寫成-3(x-)，這樣才能確保平移變換的正確性.

　　設(shè)計感想

　　1.本節(jié)課符合新課改精神，突出體現(xiàn)了以學生能力的發(fā)展為主線，應用啟發(fā)式、講述式引導學生層層深入，培養(yǎng)學生自主探索及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.注重利用非智力因素促進學生的學習，實現(xiàn)數(shù)學知識價值、思維價值和人文價值的高度統(tǒng)一.

　　2.由于本節(jié)內(nèi)容綜合性強，所以本節(jié)教案設(shè)計的指導思想是:在教師的引導下，讓學生積極、主動地提出問題，自主分析，再合作交流，達到殊途同歸.在思維訓練的過程中，感受數(shù)學知識的魅力，成為學習的主人.新課改要求教師在新的教學理念下，要勇于，更要善于把問題拋給學生，激發(fā)學生探求知識的強烈欲望和創(chuàng)新意識.教學的目的是以知識為平臺，全面提升學生的綜合能力.

高中數(shù)學函數(shù)的圖象教案2

　�、逭n時目標

　　1．掌握圓的一般式方程及其各系數(shù)的幾何特征。

　　2．待定系數(shù)法之應用。

　�、鎲栴}導學

　　問題1：寫出圓心為（a,b）,半徑為r的圓的方程，并把圓方程改寫成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0

　　問題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個方程是否為圓的方程的標準是什么？

　�、� ；

　�、� 1

　�、� 0；

　�、� -2x+4y+4=0

　　⑤ -2x+4y+5=0;

　�、� -2x+4y+6=0

　�、缃虒W過程

　　[情景設(shè)置]

　　把圓的標準方程 展開得 -2ax-2by+ =0

　　可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

　　+Dx+Ey+F=0 ①

　　提問:方程表示的曲線是不是圓一個方程表示的曲線是否為圓有標準嗎

　　[探索研究]

　　將①配方得 : ( ) ②

　　將方程 ②與圓的標準方程對照.

　�、女� ＞0時, 方程 ②表示圓心在 (- ),半徑為 的圓.

　�、飘� =0時,方程①只表示一個點(- ).

　�、钱� ＜0時, 方程①無實數(shù)解,因此它不表示任何圖形.

　　結(jié)論: 當 ＞0時, 方程 ①表示一個圓, 方程 ①叫做圓的一般方程.

　　圓的標準方程的優(yōu)點在于明確地指出了圓心和半徑,而一般方程突出了形式上的特點:

　　⑴ 和 的系數(shù)相同,不等于0;

　�、茮]有xy這樣的二次項.

　　以上兩點是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件

　　[知識應用與解題研究]

　　[例1] 求下列各圓的半徑和圓心坐標.

　　⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)

　　[例2]求經(jīng)過O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點的圓的方程，并指出圓心和半徑。

　　分析：用待定系數(shù)法設(shè)方程為 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F(xiàn)即可。

　　[例3]已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。

　　分析：本題直接給出點，滿足條件，可直接用坐標表示動點滿足的條件得出方程。

　　反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的'點的軌跡又如何？當k=1時為直線，k>0時且k≠1時為圓。

　　㈣提煉總結(jié)

　　1．圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

　　2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。

　　3．圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關(guān)系時用標準式，無直接關(guān)系選一般式。

　　4．兩圓的位置關(guān)系（相交、相離、相切、內(nèi)含）。

　�、椴贾米鳂I(yè)

　　1．直線l過點P（3，0）且與圓 -8x-2y+12=0截得的弦最短，則直線l的方程為：

　　2．求下列各圓的圓心、半徑并畫出它們的圖形。

　�、� -2x-5=0； ⑵ +2x-4y-4=0

　　3．經(jīng)過兩圓 +6x-4=0和 +6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。

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