2012考研數(shù)學(xué)函數(shù)極限和連續(xù)性

（一）考試內(nèi)容

　　函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。

　　數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及其無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個重要極限。

　　函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函

　　數(shù)的性質(zhì)。

　�。ǘ�）考試要求了解

　　1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

　　2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

　　3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

　　4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

　　5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限和右極限）的概念。

　　6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準(zhǔn)則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

　　7．理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量

　　和無窮小量的關(guān)系。

　　8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)和右連續(xù)），會判斷函數(shù)間斷點的類型。

　　9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有

　　界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

　　我們在求解函數(shù)的解析式時，需要涉及到導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等基本知識，所以求解函數(shù)解析式往往是一些知識的綜合應(yīng)用，需要逐步求解。函數(shù)的性質(zhì)是考試的重點，比如奇偶性、周期性，在極限這一章體現(xiàn)的不明顯，但是在定積分和二重積分的運算中如果能夠準(zhǔn)確的應(yīng)用就能夠化簡運算，解決難題，所以屬于技巧性的考察，在考研的試題中對技巧的考察屬于重難點，所以考生應(yīng)該提起重視。函數(shù)的有界性是證明題中經(jīng)常用到的，但要注意閉區(qū)間上應(yīng)用，如果是開區(qū)間，就要求解左端點處的右極限、右端點處的左極限。極限是考研的重點，熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵，極限的運算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進(jìn)行極限的運算，如果有一個不存在就無法進(jìn)行運算。無窮小以及無窮大量是考察的重點，首先要理解概念，弄清無窮大與無界的區(qū)別，無窮小與有界的區(qū)別，（前者能推出后者，后者不能推出前者。）對于無窮小的運算，大家最好能夠熟練掌握等價無窮小代換，這樣可以化簡極限運算，但在運算中要注意等價無窮小代換的條件，一般是積式用。在這需要大家注意一下階的概念。極限的保號性應(yīng)用比較廣泛，要領(lǐng)會如何“保號”得到不等式。在證明中還會用到最值定理，介值定理，零點定理。我們應(yīng)用最值定理估值計算，應(yīng)用介值定理證明存在零點。函數(shù)的連續(xù)性是考試的重點，可能考察函數(shù)、分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)用左右極限進(jìn)行求解，在求解過程中經(jīng)常會遇到一些特殊的函數(shù)比如指數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，當(dāng)變量趨近于不同的值時，極限可能不同。

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