距離空間的概率列緊性論文
【摘要】 討論了距離空間中集合的概率列緊性，在一定的條件下證明了距離空間中的概率列緊性是可分的。
【關(guān)鍵詞】 距離空間； 三角范數(shù)； 列緊性
1 基本概念
定義1.1［1］ （X，F(xiàn)）稱為距離空間，X為抽象集，映射F ：X×X×X→0 （簡(jiǎn)記 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在實(shí)數(shù)t 的值）滿足下列條件： ⑴ Fabc(0)=0； ⑵ 衋,b∈X, a≠b 鯿∈X,t0>0，使得Fabc(t0)<1>0,當(dāng)a,b,c 中至少有二元相等； ⑷ Fabc=Facb=Fbca； ⑸ Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1軫abc(t1+t2+t3)=1 。
定義1.2 T 稱為三角范數(shù)，且T 滿足［0,1］×［0,1］×［0,1］→［0,1］ 映射，T 還滿足下列條件： ⑴ T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； ⑵ T(a1，b1,c1)≤T(a2,b2,c2), 當(dāng)a1≤a2≤,b1≤b2,c1≤c2 ； ⑶ T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； ⑷ T［T(a,b,c),d,e］=T［a,T(b,c,d),e］=T［a,b,T(c,d,e)］。
定義1.3 (X,F,T)稱為Menger空間，滿足下列條件： ⑴ (X,F)為距離空間； ⑵ T為三角范數(shù)； ⑶不等式Fabc(t1+t2+t3)≥T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3)) 成立。
定義1.4 設(shè)(X,F) 為距離空間，若
⑴ x1,x2,…,xn∈X,{xn} 收斂于X 充要條件為笑>0,λ>0,a∈X,鯪(ε,λ,α) 使得當(dāng)n≥N(ε,λ,α) 時(shí)，有Fxxna(ε)>1-λ；
⑵ A糥，a 為A 的聚點(diǎn)充要條件為：對(duì)X 中的任意有限個(gè)點(diǎn)b1,b2,…,bn ，A中存在不同于a 的點(diǎn)列 {an}，使得limn→∞Faanbj(t)=H(t)(j=1,2,…,n) ；
⑶ 稱=A∪{A的聚點(diǎn)} 為A 的閉包。
定義1.5 設(shè)(X,F) 為距離空間， X中的無窮集A 稱為概率列緊集充要條件為A 的任一無窮子集A1 必然含有一個(gè)收斂的點(diǎn)列，即存在{an}糀1,a∈X ,使得an→a ,若X 是概率列緊集,則稱(X,F) 為概率列緊空間。
定義1.6 設(shè)(X,F) 為距離空間，ε>0,λ>0,A糥,B糥 ，若存在A 的有限子集A′={a1,a2,…,an} ，使得對(duì)任意的ai∈A′ ，有Faaib(ε)>1-λ(衎∈B) ，則稱 A′是關(guān)于B 的一個(gè)(ε,λ) 網(wǎng)。
定義1.7 距離空間（X，F(xiàn)） 具有性質(zhì)K 充要條件為對(duì)任意的使F(abc(t)≠H(t) ，而 limn→∞Faban(t)=H(t)，limn→∞Facan(t)=H(t) 成立的X 中的點(diǎn)列{an} 的limn→∞Faa′nn(t)=H(t),衋′∈X ．
定義1.8 (X,F)為距離空間，A糥 稱為概率可分的充要條件為存在X 的可數(shù)子集B ，使得A ．
若X 為概率可分的.抽象集，稱(X,F) 為概率可分距離空間。
2 主要結(jié)論
定理2.1 設(shè)（X，F(xiàn)，T） 為Menger空間，T 連續(xù)函數(shù)，A糥 是概率列緊的充分條件為笑>0,λ>0 及X 的任意有限子集B ，存在A 關(guān)于B 的(ω,λ) 網(wǎng)。
證明：設(shè)B=b{b1,b2,…,bn} 是X 中的任一有限子集，笑>0,λ>0 ，取a1∈A ，若{a1} 不是A 關(guān)于B 的 （ε,λ)網(wǎng)，則必存在一點(diǎn)a2∈A,b12∈B ，使得Fa1a2b12 (ε)≤1-λ，若{a1,a2} 仍不構(gòu)成A 點(diǎn)關(guān)于B 的(ε，λ) 網(wǎng)，則必存在a3∈A,b13,b23∈B ，使得Fa1a3b13(ε)≤1-λ ，F(xiàn)a2a3b23(ε)≤1-λ。如此繼續(xù)下去，我們便得到A 的有限子集 A′={a1,a2,…,an}為A關(guān)于B 的(ε,λ) 網(wǎng)。
若不然，依上法便得到A 中的點(diǎn)列{an} 及B 中的點(diǎn)列b12，b13,b23,…,b1m…,bb-1m,… 使得：
Faiajbij(ε)≤1-λ i≠j(1)
因A糥 是概率列緊集，且{an}∈A ，ai≠aj(i≠j) ，故存在{an} 的子列{ank} 及a∈X ，使得ank →a 。
因?yàn)門 連續(xù)函數(shù)，則對(duì)上述的λ>0 ，存在λ′>0 ，使得T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ 。
又因B 為有限集及ank→a ，故對(duì)上述ε>0,λ′>0 存在自然數(shù)1，當(dāng)k≥1 時(shí)，對(duì)衎∈B ，有：
Faankb(ε3)>1-λ′(2)
特別的，有 Faan1b(ε3)>1-λ′
又對(duì)笑>0 ，λ′>0 及an1 ，存在自然數(shù)S ，當(dāng)k≥s 時(shí)，有
Faanka(ε3)>1-λ′(3)
取k=max{1,s} ，當(dāng)k≥K 時(shí)，⑵、⑶式都成立，故對(duì)衎∈B ，有：
Fan1ankb(ε)≥T(Faankb(ε3),Faan1b(ε3),Faan1ank(ε3))≥T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ
這與⑴式矛盾，故A′ 為A 關(guān)于B 的(ε,λ) 網(wǎng)。
定理2.2 （X，F(xiàn)） 為距離空間，A糥,a∈X ，a 為A 的聚點(diǎn)充要條件為存在Fabc(t)≠H(t),a,b,c∈X 及點(diǎn)列{an}糥,an≠a,i≠1,2,…,n，使limn→∞Faba(t)=H(t),limn→∞Fcan(t)=H(t) 。
定理2.3 設(shè)(X,F,T) 為2睲enger空間且具有性質(zhì)K ，T連續(xù),A糥 為概率列緊的充分條件是 A為概率可分的。
證明：取c,d∈X,c≠d ，則有e∈X,t0>0 ，使得Fcde(t0)<1 ，因?yàn)锳 為概率列緊集，由定理2.1知，衝∈N ，存在A 關(guān)于{c,d,e} 的(1n,1n) 網(wǎng)Bn ，令B=Y∞n=1Bn ，則B 為可數(shù)集．以下證A肌
任取a∈A ，由 B的定義，存在bn∈B 使得Fabnc(1n)>1-1n;Fabnd(1n)>1-1n;Fabne(1n)>1-1n 。于是對(duì)B 中的點(diǎn)列{bn} ，有：
limn→∞Fabnc(t)=H(t) (4)
limn→∞Fabnd(t)=H(t) (5)
limn→∞Fabne(t)=H(t) (6)
因?yàn)镕ade(t0)<1 ，而有Fabe(t)≠H(t) ，F(xiàn)ace(t)≠H(t) ，F(xiàn)ade(t)≠H(t) 至少有一個(gè)成立。
若不然，由 Fabe(t03)=1，F(xiàn)ace(t03)=1 ，F(xiàn)ade(t03)=1 及定義1.5得到Fcde(t0)=1 。
不妨設(shè)Face(t)≠H(t) ,因(S,F,T) 所具有的性質(zhì)及⑷、⑸式成立，由定理2.2，已知 a是B 的聚點(diǎn)，而有a∈ ，進(jìn)而A ，A 是概率可分的。
推論 設(shè)（X,FT) 為Menger空間， (X,F,T)是概率列緊距離空間充分條件為(X,FT) 是概率可分距離空間。
【參考文獻(xiàn)】
1 曾文智．概率2簿嗬肟占.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，1987，7(2)：241～245．
2 熊道統(tǒng)．2簿嗬肟占淅礪.第1版，西安：陜西師范大學(xué)出版社，1992
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