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淺析中學(xué)新課程算法教學(xué)的案例分析論文
論文關(guān)鍵詞： 算法 案例分析 循環(huán)結(jié)構(gòu)
論文摘要： 在高中數(shù)學(xué)課程中,算法內(nèi)容的設(shè)計(jì)分為兩部分:一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識(shí),主要是通過(guò)一些具體的案例介紹算法的基本思想,使學(xué)生了解:為了解決一個(gè)問(wèn)題,設(shè)計(jì)出解決問(wèn)題的系列步驟,任何人實(shí)施這些步驟就可以解決問(wèn)題,這就是解決問(wèn)題的一個(gè)算法。
一、算法概述
1.算法的定義及其現(xiàn)代意義
算法(algorithm)是在有限步驟內(nèi)求解某一問(wèn)題所使用的一組定義明確的規(guī)則。在數(shù)學(xué)中,現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確的和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成。也就是說(shuō),解決一個(gè)問(wèn)題所采取的方法(明確、有效、有限)順序,是算法的核心。
2.算法在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中有重要作用
證明一個(gè)方程有解,通常有兩種做法,一種是構(gòu)造的方法,直接構(gòu)造出該方程的解;另一種是用反證法,先假定該方程的解不存在,然后推出矛盾。但后一種方法無(wú)法知道這個(gè)解是什么。算法給出的是第一種方法的解。由于算法能夠構(gòu)造出方程的解,所以算法在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中十分重要。
3.算法的基本思想
算法的基本思想是指按照確定的步驟,一步一步去解決某個(gè)問(wèn)題的程序化思想。在數(shù)學(xué)中,完成每一件工作。例如,計(jì)算一個(gè)函數(shù)值,求解一個(gè)方程,證明一個(gè)結(jié)果,等等,我們都需要有一個(gè)清晰的思路,一系列的步驟,一步一步地去完成,這就是算法的思想,即程序化的思想。
二、算法的作用
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用是形成“算法思維”。算法有著悠久的發(fā)展歷史,中國(guó)古代數(shù)學(xué)曾經(jīng)以算法為特色,取得了舉世矚目的輝煌成就。算法已經(jīng)成為很多學(xué)科的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)課程中的算法有以下幾個(gè)方面的作用:
1.算法學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生清晰思考問(wèn)題、提高邏輯思維能力
不論是代數(shù)問(wèn)題,還是幾何問(wèn)題,算法框圖可以準(zhǔn)確、清晰、直觀地展示解決問(wèn)題的過(guò)程;算法程序可以借助計(jì)算機(jī)幫助我們具體地解決問(wèn)題,得到需要的結(jié)果。一個(gè)算法常常可以解決一類問(wèn)題。因此,算法,一方面,具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn),同時(shí)又有高度的抽象性、概括性和精確性。將解決具體問(wèn)題的思路整理成算法的過(guò)程是一個(gè)條理化,精確化和邏輯化的過(guò)程,有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
案例1:寫一個(gè)算法讓計(jì)算機(jī)來(lái)解方程:ax+b=0,其中參數(shù)由鍵盤任意輸入,讓計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果
分析:我們能說(shuō)凡是這樣的方程就讓計(jì)算機(jī)輸出:“x=-b/a”就可以了嗎?顯然,這是有問(wèn)題的,因?yàn)楫?dāng)a=0的情形下,這種輸出是錯(cuò)誤的,也就是說(shuō),我們需要分情況討論:
(1)輸入a,b;
(2)若a≠0,則輸出x=-b/a;
如果a=0呢?實(shí)際上方程變成了b=0,這樣的方程的解又是什么呢?看來(lái)還要看看參數(shù)b,若b=0,則方程為0=0,若b=5,則方程為5=0,這兩種情形顯然是不一樣的,前者的解是任意實(shí)數(shù),而后者則是無(wú)實(shí)數(shù)解,因此繼續(xù)我們的算法:
(3)若a=0(還要對(duì)b進(jìn)行討論):
(ⅰ)若b=0,方程的解是全體實(shí)數(shù);
(ⅱ)若b≠0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解。
為什么對(duì)于這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的方程還有這么多門道呢?因?yàn)?作為一個(gè)算法必須是精確的,任何人按照(包括計(jì)算機(jī))這個(gè)步驟執(zhí)行都能得到這個(gè)問(wèn)題的求解。
從以上案例可以看出,書寫一個(gè)算法的過(guò)程是一個(gè)思維的整理過(guò)程,是一個(gè)精確化、條理化的過(guò)程。給出一個(gè)算法,實(shí)際上是給出了一種實(shí)現(xiàn)的方法,就是一種構(gòu)造性的證明或論證。因此,算法的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
2.算法學(xué)習(xí)有助于學(xué)生全面的理解運(yùn)算
每一個(gè)算法都是一個(gè)證明——構(gòu)造型的證明,著名數(shù)學(xué)家吳文俊提出的“機(jī)器證明”就是通過(guò)算法實(shí)現(xiàn)的,在信息時(shí)代,這種證明將會(huì)受到越來(lái)越大的重視�！斑\(yùn)算”是實(shí)施這種證明的手段,只有這樣,計(jì)算機(jī)才能幫助我們。
3.算法學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的信息素養(yǎng)
信息技術(shù)正在改變著人們的生活方式、學(xué)習(xí)方式和工作方式。掌握和使用信息技術(shù)已是現(xiàn)代人必備的素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)課程中也開設(shè)了信息技術(shù)課程。信息技術(shù)以計(jì)算機(jī)技術(shù)為核心,而計(jì)算機(jī)技術(shù)的核心則是算法。因此,算法的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解信息技術(shù)的本質(zhì),提高學(xué)生的信息素養(yǎng)。
三、算法的基本結(jié)構(gòu)
1.順序結(jié)構(gòu)
順序結(jié)構(gòu)的算法的操作順序是按照書寫順序執(zhí)行的。
案例2:設(shè)計(jì)一個(gè)算法,以確定給定線段AB的4等分點(diǎn)。解決這個(gè)問(wèn)題的算法如下:
(1)從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā),作一條射線;
(2)在射線上任取一點(diǎn)C,并作線段CE=EG=GD=AC,那么線段AD=4AC;
(3)連接DB;
(4)過(guò)C作DB的平行線,交線段AB于M,這樣點(diǎn)M就是線段AB的4等分點(diǎn).
像這樣的算法就是一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的算法,只要按照書寫順序完成以上4個(gè)步驟,就能得到線段AB的4等分點(diǎn)。
2.分叉(選擇)結(jié)構(gòu)
選擇結(jié)構(gòu)的算法是根據(jù)指定的條件進(jìn)行判斷,由判斷的結(jié)果決定選取執(zhí)行兩條分枝路徑中的一條。
案例3:求三個(gè)數(shù)的最大數(shù)的算法就是選擇結(jié)構(gòu)。
解決這個(gè)問(wèn)題的算法如下:
(1)輸入變量:x,y,z;
(2)max:= x;
(3)比較max和y:如果max (4)比較max與z:如果max (5)輸出max.
在這個(gè)算法中,我們根據(jù)與變量max比較的不同的結(jié)果決定后面的操作。
3.循環(huán)結(jié)構(gòu)
循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法要根據(jù)條件是否滿足來(lái)決定是否繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體中的操作。比如,上面求三個(gè)數(shù)中的最大數(shù),我們進(jìn)行了兩次比較,假如我們要找出100個(gè)數(shù)中的最大數(shù),按照上述算法就需要比較99次,算法步驟就是101步。既不便于書寫,也不便于閱讀.解決這個(gè)問(wèn)題就需要利用循環(huán)結(jié)構(gòu)了,對(duì)于求100個(gè)數(shù)中的最大數(shù)的問(wèn)題,相應(yīng)的算法可以用流程圖來(lái)表示,像這樣的算法控制結(jié)構(gòu),我們稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。在循環(huán)結(jié)構(gòu)中,函數(shù)思想發(fā)揮著十分重要的作用。
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