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淺析條件概率的論文
摘要：條件概率是概率論基礎知識中的一個基本概念,是積事件概率和全概率公式的基礎,但這一概念往往不被學生所重視,以至于影響到后面的教學效果。本文就這一概念教學進行了初步研究,并給出條件概率p（a/b）中,當p（b）=0時的一些有趣結(jié)論，旨在開闊學生的視野。
關鍵詞：條件概率；概率；隨機試驗；事件；抽簽
在多年的概率論教學過程中,筆者感覺到學生難以清楚地理解條件概率、積事件概率、全概率公式等概念,特別是在求解有關問題時,往往無處著手,出現(xiàn)思維障礙,從而影響了學生的學習積極性。究其原因，基本上是對條件概率概念沒有很好地理解;在教學過程中，教師也沒有引起重視,一筆帶過,而把重點放在全概率公式上,學生處于被動的學習狀態(tài)。筆者擬就這一問題的教學作如下研究。
首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）這三者之間的區(qū)別與聯(lián)系。
一是條件概率p（a/b）與概率p（a）的區(qū)別。
每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的。設a是隨機試驗的一個事件，則p（a）是在一定條件下事件a發(fā)生的可能性的大小。而條件概率p（a/b）是指在原條件下又添加“事件b發(fā)生”這個條件時，事件a發(fā)生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）與p（a/b）的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個不同的概率，在數(shù)值上一般也不相等。（注：“事件b發(fā)生”特指讀者已經(jīng)知道事件b發(fā)生，而實際上事件b往往在事件a發(fā)生之前發(fā)生，但也可以在事件a發(fā)生之后發(fā)生，如例1中求p（a1/a2a3），只是讀者還不知道事件a已發(fā)生，用p（a/b）來估計事件a發(fā)生可能性的大小。
例1：5個簽中的2個是“有”，3個是“無”，無放回地順次抽取，每人抽一個，用ai表示第i個人抽到“有”這一事件，則p（a2）===，p（a2/a1）=。
二是條件概率p（a/b）與概率p（a）的數(shù)量關系。
條件概率p（a/b）是在原隨機試驗條件下又添加“事件b發(fā)生”這個條件時事件a發(fā)生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？
1.當a、b互不相容時，a發(fā)生時b不發(fā)生，則p（a/b）=0≤p（a）；
2.當a?奐b時，p（ab）=p（a），p（a/b）==≥p（a）；
3.當a、b既不是互不相容，又不是包含關系時，因p（a/b）=，大于、等于、小于p（a）三種可能都有，如p（a）=0.5,p（b）=0.4,當p（ab）=0.30時，p（a/b）=0.75>p（a）；當p（ab）=0.20時，p（a/b）=0.5=p（a）;當p（ab）=0.10時，p（a/b）=0.25 三是條件概率p（a/b）與積事件的概率p（ab）的區(qū)別。
這兩個概念從形式上看是容易區(qū)分的，但對于初學者來說很容易混淆，有必要強調(diào)一下。條件概率p（a/b）是指事件b發(fā)生這個條件下事件a發(fā)生的概率，而p（ab）是指a、b同時發(fā)生的概率。因而“事件b發(fā)生”在p（a/b）中是作為條件，而p（ab）中是作為結(jié)果，所以兩者不相同。
例2：某班有男學生40人，女學生20人，通過英語六級者有15人，其中有女學生10人。在該班級中任意抽取一人，分別計算：
1.求所取的學生為女學生并且已通過英語六級的概率；
2.已知所取的學生為女學生，求其通過英語六級的概率。
解：設a=｛所取的學生已通過英語六級｝，b=｛女學生｝，則（1）為求事件a、b的積事件的概率p（ab）==；（2）為求在事件b發(fā)生條件下事件a發(fā)生的條件概率p（a/b）==。
其次，要深刻理解當p（b）>0時,條件概率公式p（a/b）=的意義。
一是要從理論上推出該公式非常困難，但從事件a、b的文氏圖可直觀地解釋一下該公式，把p（a）看成為a的面積與必然事件ω的面積的比值，那么，p（a/b）為在b發(fā)生條件下a發(fā)生的概率，可理解為ab的面積與b的面積的比值，分別除以ω面積，即得條件概率公式p（a/b）=，可以讓學生從心理上接受它并加深印象，而公式本身已證明是成立的，只要加以說明就行，這樣可起到降低難度的作用。公式給出了計算條件概率的一種方法。
例3：某種品牌的彩色電視機使用壽命10年的概率為0.9,而使用壽命15年的概率為0.5,試求某臺電視機已經(jīng)使用10年的情況下，能再使用5年的概率。
解:設b=｛電視機使用壽命10年｝，a=｛電視機使用壽命15年｝，則p（a）=0.5，p（b）=0.9因為a發(fā)生必然導致b發(fā)生，即b?勱a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。
二是該公式的作用不僅僅用來計算條件概率，而且條件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用來計算積事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）這就是我們所說的乘法公式。
例4：在例1中，計算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，這道題目的解答也說明了這樣一個問題：無放回抽簽不分先后，各個人抽到好簽的可能性是一樣的，不必為輪到后面而不高興，關鍵的問題是操作規(guī)則要公正。也許會問前面的人好簽抽走了，最后面的人還會有嗎？那么要是前面的人沒有全部抽走好簽，最后面的人不是肯定能抽到好簽嗎？以上兩種情況都屬于條件概率。
如果沒有這個乘法公式，計算p（a1a2）難度就大得多了，得考慮兩個“好簽”給5個人中的兩個人抓到共有幾種方法？是用排列數(shù)計算呢，還是用組合數(shù)計算呢？每種方法是否等可能的？要仔細分析一下，最后得：p（a1a2）===。
再次，條件概率公式為全概率公式的計算奠定了基礎，從而解決了事件概率的計算問題。
一般教材都給出條件概率p（a/b）中p（b）必須大于0，那么當p（b）=0時，p（a/b）是否有意義呢？
顯然條件概率公式是不能用了，當a、b所在的事件空間 ω中的基本事件個數(shù)為有限個時，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件個數(shù)為0個，由p（a/b）的含義得a的有利事件個數(shù)也為0個，所以，這時規(guī)定p（a/b）=0較妥當。而當ω為無限集時，情況比較復雜�，F(xiàn)舉例如下：
當a、b所代表的事件互不影響時（具體情況時容易判斷的），規(guī)定p（a/b）=p（a）；當b?奐a時，b發(fā)生可推出a發(fā)生，這時p（a/b）=1；當a、b是互斥事件時，b發(fā)生時，推出a不發(fā)生，得p（a/b）=0；當b為不可能事件時，討論p（a/b）實際上是無意義的，在不可能事件b發(fā)生條件下a發(fā)生的概率，這句話本身就是相悖的，但為統(tǒng)一起來，可定義p（a/b）=0；當a、b是互不包含事件時，情況比較怎復雜，視具體情況而定。
例5：質(zhì)點m隨機地均等拋擲到﹝-1，+1﹞區(qū)間上，記a=｛質(zhì)點落在﹝0，1﹞區(qū)間上｝，b=｛質(zhì)點恰好落在點處｝，b1=｛質(zhì)點落在-1，0，，1這四點處｝，b2=｛質(zhì)點落在﹝0，1﹞區(qū)間上的有理數(shù)點處｝，則p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。
參考文獻：
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