關(guān)于動柔度矩陣跡范數(shù)的懸架多目標(biāo)評價分析論文
1引言
懸架系統(tǒng)是車架與車軸之間力的傳遞連接裝置。懸架除了傳遞力之外，還應(yīng)具備乘坐平順性、操作穩(wěn)定性和行駛安全性等重要指標(biāo)。根據(jù)汽車整車性能對懸架的要求，通常用以下三個指標(biāo)來評價懸架的優(yōu)劣，即：車身加速度(或位移)與路面外擾之比用來評價乘坐平順性;懸架動撓度與路面外擾之比用來評價操作穩(wěn)定性;車輪動載(動變形)與路面外擾之比用來評價行駛安全性。
對懸架評價與優(yōu)化設(shè)計時，希望這三個指標(biāo)在全頻段都盡可能的小，但在客觀上他們存在矛盾：當(dāng)一個指標(biāo)變小時，會犧牲其它兩個指標(biāo)變大為代價。近年來，研究懸架的多目標(biāo)評價與優(yōu)化的方法很多，文獻(xiàn)基于軸距預(yù)測方法對懸架進(jìn)行多目標(biāo)控制;文獻(xiàn)設(shè)計了多目標(biāo)免疫算法，從而改善了懸架的平順性和操縱穩(wěn)定性;文獻(xiàn)中基于遺傳算法、文獻(xiàn)基于模糊控制器對懸架進(jìn)行了多目標(biāo)評價與優(yōu)化。但基于動柔度矩陣的跡范數(shù)的懸架系統(tǒng)的多目標(biāo)評價，在國內(nèi)外文獻(xiàn)中還鮮有提及�；趧尤岫染仃囒E范數(shù)對懸架的綜合性效能進(jìn)行評價，從而優(yōu)化懸架的綜合性能。
2汽車四分之一懸架效能評價指標(biāo)
2.1汽車四分之一懸架動力學(xué)方程
具有獨(dú)立懸架汽車的四分之一物理模型。具有兩個自由度：車身垂直位移和懸架下質(zhì)量的垂直位移。
對于汽車四分之一懸架，其運(yùn)動方程可寫為：
mqsz咬s=c(sz觶u-z觶s)+k(szu-zs)muz咬u=k(tzb-zu)+c(sz觶s-z觶u)+k(szs-zu!###"###$)(1)
式(1)進(jìn)行傅里葉變換得：
-ω2mqsZs=jωc(sZu-Zs)+k(sZu-Zs)-ω2muZu=k(tZb-Zu)+jωc(sZs-Zu)+k(sZs-Zu%)(2)
式中：Zs、Zu、Zb-zs—zs、zu、zb的傅里葉變換對。
2.2懸架的平順、穩(wěn)定及安全性效能評價指標(biāo)
由式(2)可得出車身位移與路面外擾之間的頻響函數(shù)：
Hsb=ZsZb=a1ω+a0ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(3)
式中系數(shù)：a3=-iξ(1+α)，a2=-[β/α+β+1]ω22，a1=iξω22，a0=ω21，ω22。而ω21=ks/mqs、ω22=kt/mu是名義固有頻率;ξ=cs/mqs是懸架的阻尼質(zhì)量比;α=mqs/mu是質(zhì)量比;β=ks/kt是懸架與輪胎的剛度比。由式(2)也可得出懸架動撓度與路面外擾之間的頻響函數(shù)：
H1b=Z1Zb=Zu-ZsZb=ω22ω2ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(4)
由式(2)還可得出車輪動變形與路面外擾之間的頻響函數(shù)：
H2b=Z2Zb=Zb-ZuZb=ω4+a3ω3+(a2-ω22)ω2ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(5)
在全頻段范圍內(nèi)由式(3)、式(4)、式(5)可對應(yīng)的給出乘坐平順性、操作穩(wěn)定性和行駛安全性三個評價指標(biāo)：
Qsb=∞乙0Hsbdω(6)
Q1b=∞乙0H1bdω(7)
Q2b=∞乙0H2bdω(8)
式(3)~式(5)給出的頻響函數(shù)的幅值包圍的面積越小則它們對應(yīng)的平順性、操作穩(wěn)定性和行駛安全性越好。由式(3)~式(5)不難發(fā)現(xiàn)：
Hsb+H1b+H2b=1(9)
式(9)可以解釋為什么當(dāng)一個指標(biāo)變小時，其它兩個指標(biāo)變大的原因。因此，應(yīng)用式(6)~式(8)對懸架進(jìn)行優(yōu)化(找出最優(yōu)的α、β、c)s很不方便。
3關(guān)于動柔度矩陣的跡范數(shù)討論
式(1)的聯(lián)立方程可寫成矩陣形式：x觶q=Aqxq+uq(10)其中，xq=(zsz觶szuz觶u)T，式中：Xq、Uq—xq、uq的'傅里葉變換對;Hq—動柔度矩陣，其表達(dá)式為：Hq=[iωI-Aq]-1(12)動柔度矩陣Hq的跡Hrtq定義如下：Htrq=trace(Hq)=-(i4ω3+3a3ω3+2a2ω+a1)ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(13)式中：trace(Hq)—矩陣Hq的跡，系數(shù)a0~a3同式(3)。式(3)~式(5)及式(13)有相同分母是因為四分之一懸架系統(tǒng)的固有頻率信息包含在了分母中。系統(tǒng)動柔度矩陣的跡等于各個解耦動柔度函數(shù)疊加，即：Htrq=2Σj=11iω+i覣j-ζj/2+1iω-i覣j-ζjΣ/2Σ=-(i4ω3+3b3ω3+2b2ω+b1)ω4+b3ω3+b2ω2+b1ω+b0(14)
在全頻段范圍內(nèi)，若系統(tǒng)的動柔度矩陣在某種矩陣范數(shù)下盡可能的小，則對于給定的輸入Fq，輸出也Zq會在某種向量范數(shù)下盡可能的小。對于動柔度矩陣Hq定義下面這樣一種范數(shù)：Qtrq=Hq=∞乙0Htrqdω(15)即可以用動柔度矩陣的跡Htrq的幅值包圍的面積來評價多自由度系統(tǒng)的防振效能，面積越小其防振效能越高，Qtrq稱作動柔度矩陣的跡范數(shù)。由式(15)可知，為使Qtrq最小，則Htrq取最小值，由式(14)可知：Htrq=2Σj=11iω+iω軍j-ζj/2+1iω-iω軍j-ζjΣ/2軍≥22儀j=11iω+iω軍j-ζj/2+1iω-iω軍j-ζj姨Σ/2軍(16)當(dāng)且僅當(dāng)±i覣1+ζ1/2=±i覣2+ζ2/2時，當(dāng)兩個解耦共軛復(fù)頻率相等時，|Htrq|取最小值，進(jìn)而會使得Qtrq最小，此時對應(yīng)的懸架阻尼系數(shù)為：cs=2εεk姨tmu(19)當(dāng)兩個解耦共軛復(fù)頻率相等時，由式(18)得：β=α(/1+α)2(20)4四分之一懸架防振效能分析工程實際中更關(guān)心式(6)~式(8)與式(15)在一定的頻段范圍內(nèi)(ωa~ωb)幅值曲線包圍的面積，故可改寫為：Q=ωb乙ωaHdω≈ΣωbωaH(ωi)Δω(21)為了找出式(6)~式(8)與式(15)中幅值曲線包圍的面積隨ε的變化規(guī)律，這里結(jié)合一個實例進(jìn)行分析：設(shè)懸架下質(zhì)量mu=100kg，輪胎剛度kt=200kN/m，ωa=0.2π，ωb=200π，Δω=0.2π。當(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率相等時，根據(jù)式(18)~式(21)，表中給出了不同ε對應(yīng)的Qsb、Q1b、Q2b、Qtrq、η、α、β、cs數(shù)值。當(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率相等時，給出了懸架的舒適、穩(wěn)定及安全評價指標(biāo)Qsb、Q1b、Q2b分別隨ε(或η)的變化曲線，ε增大(或η減小)，Qsb、Q1b、Q2b減小，這是因為ε、η分別反映了懸架阻尼、剛度特性，較大懸架阻尼較小懸架剛度可以改善懸架的舒適、穩(wěn)定及安全性。
動柔度矩陣的跡范數(shù)Qtrq分別隨ε(或η)的變化曲線，ε增大(或η減小)，Qtrq先減小后增大，其最小值在ε0≈0.56、η0≈0.34處，此時對應(yīng)的α、β、cs為α0、β0、cs0，表1虛線左側(cè)為小于ε0，右側(cè)大于ε0;α、β、η、cs隨ε的變化曲線。
實心圓點(diǎn)與表1中數(shù)值相對應(yīng)。為Htrq的幅值曲面(ε∈(0，0.8)，f∈[0.1，100])�？梢姡�(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率相等時，對于給定的ε對應(yīng)的Htrq都是單峰值曲線，隨著ε的增加，固有頻率變小，固有頻率處的峰值也變小，但低于固有頻率的幅值變大。當(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率不一定相等時，此時式(20)不一定成立，Qtrq隨α、β的變化曲面�？芍涸趹壹茏枘嵯禂�(shù)小于cs0的情況下，Qtrq在α、β滿足式(20)才能取到最小值;當(dāng)懸架阻尼系數(shù)大于cs0時，五角星位置不再是Qtrq最小值的位置，而是圖中實心圓點(diǎn)位置，此時Qtrq最小值對應(yīng)的α、β為α0、β0。
4結(jié)論
主要介紹了應(yīng)用基于動柔度矩陣的跡范數(shù)評價懸架效能，綜合全文有以下重要結(jié)論：
(1)系統(tǒng)動柔度矩陣的跡等于各個解耦動柔度函數(shù)疊加，當(dāng)且僅當(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率相等時，動柔度矩陣的跡范數(shù)取最小值;
(2)當(dāng)兩個解耦固有復(fù)頻率相等時，懸架的舒適、穩(wěn)定及安全性評價指標(biāo)Qsb、Q1b、Q2b隨著ε的增大(或η減小)同時變小(好)。
(3)基于懸架動柔度矩陣的跡范數(shù)，除了可以用來對懸架效能進(jìn)行評價，還能對懸架性能進(jìn)行優(yōu)化，并且可以很方便的拓展到半車懸架和整車懸架的效能評價與優(yōu)化。
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