應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性

　　本文通過具體的解題案例，探討應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性．

　?1　原型與模式——應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性

　?這是一道很普通的應(yīng)用題（有“雞兔同籠”的背景），但涉及一些觀念層面上的道理，在與大學(xué)生和中學(xué)教師的交談中，大都表示沒有認真思考過．先看題目：

　?例1　某運貨公司有兩種車型共28輛，Ａ型車可載重5噸，Ｂ型車可載重4噸，如果各車滿載一次可送貨128噸，問兩種車型各有幾輛．

　?1．1　從常規(guī)求解過程中提出問題

　?用二元一次方程來處理這個問題，是一個簡化的數(shù)學(xué)建模過程．通常設(shè)Ａ型車有ｘ輛，Ｂ型車有ｙ輛，根據(jù)“兩種車型共28輛”所提供的等量關(guān)系，可得方程

　?ｘ＋ｙ＝28．　　　　　①

　?再根據(jù)“Ａ型車可載重5噸，Ｂ型車可載重4噸”，“各車滿載一次可送貨128噸”所提供的等量關(guān)系，又得方程

　?5ｘ＋4ｙ＝128．　　　②

　?然后，將①式兩邊乘以4，得

　?4ｘ＋4ｙ＝112．　　�、�

　?②－③，得ｘ＝16．　�、�

　?代入①，得ｙ＝12．　�、�

　?故Ａ型車有16輛，Ｂ型車有12輛．

　?還可用5×①－②先求ｙ等多種方式來解方程組，總之，有初中的代數(shù)知識就不難完成．筆者詢問大學(xué)生或中學(xué)教師對此能提出什么疑問時，均認為很完整了，提不出什么問題來．于是，筆者提出兩個問題，并聲明沒有標準答案，以鼓勵暢所欲言．

　?問題1　方程①反映的是車輛總數(shù)的一個平衡式，方程②反映的是車輛一次滿運貨總噸數(shù)的一個平衡式，兩者建立時的單位是不一致的，如何理解它們之間的加減運算?

　?問題2　作為解題過程的分析，如何給每個運算步驟一個生活現(xiàn)實的解釋?

　?對第1個問題，被詢問者大都感到意外，表示從未思考過；對第2個問題，則結(jié)合第1個問題，統(tǒng)一單位，有信心提出一些解釋．

　?1．2　給求解過程一個生活解釋

　?給解方程的消元過程一個生活解釋，可以理解為“出聲思維”的一種形式，它能使抽象的模式具體化，能使形式化的運算有生活化的氣息．

　?（1）有的被詢問者說，可以認為方程①中的每輛車都裝了1噸貨物，這樣兩方程的單位就一致了．對此，筆者又提出一個問題．

　?問題3　如果ｘ、ｙ都看成ｘ噸、ｙ噸，其和為28噸，那么，求出ｘ＝16，ｙ＝12后，為什么又成為16輛Ａ型車，12輛Ｂ型車呢?

　?對此，被詢問者不能馬上給出回答．

　?（2）關(guān)于問題2，通過交流提出了這樣的解釋：

　?1）假設(shè)每輛車都裝4噸，那么28輛車便可裝112噸，這就是4×①得③式；

　?2）但Ａ型車每輛可裝5噸，比假設(shè)的裝4噸還多1噸，因而真實裝車的128噸（見②式）減去假設(shè)的112噸（見③式），所得多裝的16噸數(shù)字，恰好對應(yīng)著Ａ型車的輛數(shù)，這就是②－③得出④式．

　?這個解釋首先是用“噸”來統(tǒng)一兩個方程的單位，然后用“一一對應(yīng)”的觀點來回答問題3：由于每輛Ａ型車可裝5噸，比假設(shè)各車裝4噸還多1噸，在運算�、冢�4×①之后，對Ａ型車而言，1噸對應(yīng)著1輛車，1輛車對應(yīng)著1噸，于是16噸就對應(yīng)著16輛Ａ型車．

　?上述解釋，實際上已給出了本題的一個算術(shù)解法：

　?Ａ型車數(shù)＝128－4×28．　　　⑥

　?同理，對方程組進行5×①－②運算，可得

　?Ｂ型車數(shù)＝5×28－128．　　　⑦

　?把例1中的數(shù)字換成字母，則⑥、⑦便給出了問題的求解公式．

　?1．3　從求解過程看方程模型的二重性

　?上面，將兩方程的單位統(tǒng)一為“噸”給出了一種解釋；讀者也可以將5ｘ看成Ａ型車的5倍，將4ｙ看成Ｂ型車的4倍，把單位統(tǒng)一為車的“輛”數(shù)，給出解釋；或者還可以對加減消元給出更多的生活解釋．這是一個開放性、發(fā)散性的問題，值得在解題訓(xùn)練中提倡．

　?但是，這種訓(xùn)練主要體現(xiàn)了方程模型①、②等的一個側(cè)面——與生活現(xiàn)實的聯(lián)系．其實

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