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從函角度看某些方程、不等式的解(安慶懷寧)
從函角度看某些方程、不等式的解(安慶懷寧)許季龍 3月20日 中學(xué)數(shù)學(xué)里的方程、不等式與函數(shù)間的聯(lián)系是雙向的：一方面函數(shù)的整體性認(rèn)識(shí)要得到議程、不等式以指導(dǎo)。但就目前教材的安排以及其中的例題與習(xí)題的配備來(lái)看，這后一方面的聯(lián)系，顯得不足。下面就本人對(duì)高一教材所做過(guò)的補(bǔ)充和延伸，舉例談?wù)勱P(guān)于某些方程、不等式的解，可以從六個(gè)方面考慮。
一 從函數(shù)定義域考慮
例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1
解 設(shè)f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,則f(x)的定義域取決于
下面不等式組的解：
二 從函數(shù)值域考慮
例2 解方程
(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2= 4-2x2+x4.
解 設(shè)f(x)= (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2
g(x)= 4-2x2+x4
因?yàn)閒(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5；
g(x)= 5-（x2-1）2+x4≤5。
僅當(dāng)x-1=x3-1=x2-1=0時(shí), f (x)= + g(x)，從而推出原方程的解為x=1。
例3 解方
x+1/x=sinx+31/33cosx.
解 令=x+1/x,
g(x)=sinx+31/3cosx
易證:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|≥2;
|g(x)|=| 2sina(x+π/3|≤2
但是當(dāng)|f(±1)|=2時(shí),但是當(dāng)| g (±1)|≠2時(shí).所以原方程沒(méi)有
解.
三 結(jié)合函數(shù)定義域、值域考慮
例4 解方程
（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4
解 令f(x)= （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2,
g(x)= 2x-4.
∵f(x)≥0,∴g(x)= 2x-4≥0.于是x≥2.
又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;
2x2-x-6=(x-2)(2x+3)≥0
所以, f(x)、g(x)的定義域是x≥2。在此條件下原方程又可化
為：
(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解為下列方二程
之解：
x-2=0； （1）
(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2
(2)
解（1）得x=2；而（2）沒(méi)有解，事實(shí)上，將（2）式移項(xiàng)得
(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到
(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2
當(dāng)x≥2時(shí)，上式左邊函數(shù)值為正，右邊的函數(shù)值為負(fù)。得出矛盾。
經(jīng)檢驗(yàn)原方程僅有一解x=2。
四 結(jié)合函數(shù)性質(zhì)考慮
例5 解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2
解 設(shè)f(x)= (2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它們共
同的定義域里，f(x)嚴(yán)格遞增，g(x)嚴(yán)格遞減且原方程與方程f(x)=- g(x)同解.顯然 f(1)=g(1),并且x>/時(shí),時(shí),f(x)>f(1)=g(1)>g(x);
x<1時(shí),f(x) 這就是說(shuō)f(x)=g(x)僅有一解`x=1.
例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.
解 設(shè)不等式左邊為f(x),不難確定其定義域是[-1/2,0)∪
(0,1/2].當(dāng)02)1/2],容易看出,它的分子不超過(guò)2,分母總是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1
[1] [2]
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