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壽險中的破產(chǎn)理論及應(yīng)用
一、引言在我國保險公司的運作中,保費收入是主要收入來源,理陪是主要風(fēng)險因素,為了保障保險公司的正常運作,保險公司必須充分考慮所面臨的風(fēng)險,而破產(chǎn)理論的研究主要針對保險公司如何估計所面臨的風(fēng)險,它主要研究在較長時間上保險公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率,以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對非壽險進行研究,并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程,理賠額S(t)為復(fù)合泊松過程情況下的盈余過程,在非壽險研究中得到一個Lundberg不等式,這個破產(chǎn)概率上界為保險公司的風(fēng)險分析提供了有力工具。
本文利用(文獻[1])風(fēng)險理論,考慮在壽險中破產(chǎn)理論的研究,得到壽險破產(chǎn)模型,設(shè)計了求解壽險中的破產(chǎn)概率的一種算法,并得到壽險破產(chǎn)概率的一個上界。
二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
設(shè)壽險中,剛投保時(t=0時刻),年齡均為x的被保險人有n[,1]個,每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表,初始準備金為u[,1],并且設(shè)
n[,k]:第k年年初時的被保險人數(shù)
c:被保險人每年所交的保險費
d[,k]:第k年內(nèi)(k,k+1)被保險人死亡的人數(shù) (1)
q[,x];被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率
b:每個被保險人死亡時,保險人要支付的保險金
由此假定我們知:
t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。
定義1 對任意t>0,設(shè)c>0為單位時間內(nèi)的保費收入率,s(t)為到時刻t保險公司支付的理賠總額,u(0)=u為時刻0時的初始準備金,則
u(t)=u+ct-s(t) (2)
稱為時刻t時的盈余
由(2)可見:這里的盈余并沒有考慮除了保費和理賠以外的影響盈余的因素,如附加費和保單持有人的分紅等,顯然,這種盈余并不是財務(wù)意義上的盈余,只是為了數(shù)學(xué)上處理方便而已…當(dāng)盈余在某一時刻為負時,我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生,既然此處盈余并不是財務(wù)意義上的盈余,則此時破產(chǎn)就不等價于保險公司真的破產(chǎn),但破產(chǎn)是衡量保險公司金融風(fēng)險的極其重要的尺度。我們僅定義時間不連續(xù)時的破產(chǎn)概率
定義2 稱Ψ[,t](u,n)=Pr{u(t)<0/{u(τ)≥0,對某τ,τ=1,2,…t-1},為給定u,n時,第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。
設(shè)u[,k]表示第k年年初的準備金,且此時尚未收取第k年的保險費,v[,k]表示第k年年末的準備金,且此時尚未支付第k年年末的保險金,i是常數(shù)利率,則
v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i) u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]
定理1 壽險中,設(shè)初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],且,c,q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件,則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
證明:被保險人在第一年末,可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡,當(dāng)死亡時,保險人由于支付保險金,可能導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生,也可能不發(fā)生破產(chǎn),我們考慮臨界狀態(tài):即第1年年初所收保費與初始準備金之和等于第一年年末支付的保險金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i),即
附圖
對給定的n[,1],在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項分布,由此我們推得:
附圖
注:定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式,實際上我們可以利用迭代法求解保險期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。
實際上,壽險保險人數(shù)相當(dāng)大,而且被保險人死亡的概率非常小,存活過保險期的人數(shù)也相當(dāng)大。我們知道二項分布中當(dāng)n[,1]充分大,q[,x]充分小時,由概率論中泊松定理知,泊松分布可更好逼近二項分布,記λ[,1]=n[,1]q[,x],由泊松定理及定理1可得:
推論1 壽險中,設(shè)初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件,則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
三、不同年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
為便于研究,對壽險中的被保險人進行分組,不妨設(shè),剛投保時(t=0時刻),年齡為x(j)的被保險人有n[,1]
[1] [2]
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