構(gòu)造組合模型巧證組合恒等式 論文

證明組合恒等式，一般是利用組合數(shù)的性質(zhì)、數(shù)學歸納法、二項式定理等，通過一些適當?shù)挠嬎慊蚧�簡來完成．但是，很多組合恒等式，也可直接利用組合數(shù)的意義來證明．即構(gòu)造一個組合問題的模型，把等式兩邊看成同一組問題的兩種計算方法，由解的唯一性，即可證明組合恒等式．

例１證明Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－１＋Ｃｎ－１ｍ－１．

分析：原式左端為ｍ個元素中�。顐�的組合數(shù)．原式右端可看成是同一問題的另一種算法：把滿足條件的組合分為兩類，一類為不取某個元素ａ１，有Ｃｎｍ－１種取法．一類為必�。幔庇校茫睿�１ｍ－１種取法．由加法原理可知原式成立．

例２證明Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ．

分析：原式左端可看成一個班有ｍ個人，從中選出ｎ個人打掃衛(wèi)生，在選出的ｎ個人中，ｐ人打掃教室，余下的ｎ－ｐ人打掃環(huán)境衛(wèi)生的選法數(shù)．原式右端可看成直接在ｍ人中選出ｐ人打掃教室，在余下的ｍ－ｐ人中再選出ｎ－ｐ人打掃環(huán)境衛(wèi)生．顯然，兩種算法計算的是同一個問題，結(jié)果當然是一致的．

以上兩例雖然簡單，但它揭示了用組合數(shù)的意義證明組合恒等式的一般思路：先由恒等式中意義比較明顯的一邊構(gòu)造一個組合問題的模型，再根據(jù)加法原理或乘法原理對另一邊進行分析．若是幾個數(shù)（組合數(shù)）相加的形式，可以把構(gòu)造的組合問題進行適當分類，如例１，若是幾個數(shù)（組合數(shù)）相乘的形式，則應進行適當?shù)姆植接嬎�，如例２，當然，很多情況下是兩者結(jié)合使用的．

例３證明Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ１ｍＣｋ－１ｎ＋Ｃ２ｍＣｋ－２ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，其中當ｐ＞ｑ時Ｃｐｑ＝０．

證明：原式左邊為ｍ＋ｎ個元素中選ｋ個元素的組合數(shù)．今將這ｍ＋ｎ個元素分成兩組，第一組為ｍ個元素，剩下的ｎ個元素為第二組，把取出的ｋ個元素，按在第一組取出的元素個數(shù)ｉ（ｉ＝０，１，２，…，ｋ）進行分類，這一類的取法數(shù)為ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ個元素中�。雮�元素的取法數(shù)又可寫成?ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立．

例４證明

Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．

證明：原式右邊為ｍ＋ｎ＋１個元素中�。睿�１個，元素的組合數(shù)，不失一般性，可以認為是在１，２，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋１，共ｍ＋ｎ＋１個數(shù)中�。睿�１個數(shù)．將取出的ｎ＋１個數(shù)ａ１，ａ２…，ａｎ＋１由小到大排列，即設(shè)ａ１＜ａ２＜ａｎ＋１，按取出的最大數(shù)ａｎ＋１＝ｋ＋１分類，顯然ｋ＝ｎ，ｎ＋１，…，ｎ＋ｍ．當ｋ＝ｎ＋ｉ時（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），這一類取法數(shù)為Ｃｎｎ＋ｉ，所以取法總數(shù)又等于?ｍｉ＝０Ｃｎｎ＋ｉ．原式成立．

對于某些組合恒等式，有時其左右兩邊所表示的意義都不易看出，但是如果根據(jù)組合數(shù)的特點仔細分析，或?qū)υ�式進行一些適當?shù)淖冃�，往往可以巧妙地�?gòu)造一個組合問題做為模型，證明就可化難為易．

例５證明Ｃ１ｎ＋２Ｃ２ｎ＋３Ｃ３ｎ＋…＋ｎＣｎｎ＝ｎ２ｎ－１．

分析：注意，原式左端等價于Ｃ１１Ｃ１ｎ＋Ｃ１２Ｃ２ｎ＋…＋Ｃ１ｎ

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