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非常規(guī)數(shù)學(xué)問題解法探微
有一些數(shù)學(xué)問題,例如操作問題、邏輯推理問題等,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解;還有一些實(shí)際問題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質(zhì),其本身與數(shù)量無關(guān),也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解。人們習(xí)慣上將上述的這類問題稱為非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題近年來在各種數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)建模競賽及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實(shí)際問題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關(guān)注。
非常規(guī)數(shù)學(xué)問題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例子作一探討。
1 圖解法
例1(柳卡問題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約,同時(shí)也有一艘輪船由紐約開往哈佛,航行時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?
這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間,法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數(shù)學(xué)家通過下面的圖解法,才使問題最終得到解決。
這種方法是:用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。
值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來解決這一類型的問題,請(qǐng)看下例:
例2某路電車,由Ａ站開往Ｂ站,每5分鐘發(fā)一輛車,全程為20分鐘。有一人騎車從Ｂ站到Ａ站,在他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車進(jìn)站,當(dāng)他到達(dá)Ａ站時(shí)又恰有一輛電車出站,問:
(1)若騎車人在中途共遇到對(duì)面開來的10輛電車,則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)Ａ站?
(2)如果騎車人由Ｂ站到Ａ站共用50分鐘時(shí)間,則他一共遇到多少輛迎面開來的電車?
(3)若騎車人同某輛電車同時(shí)出發(fā)由Ａ站返回Ｂ站,騎車人用40分鐘到達(dá)Ｂ站時(shí)也恰有一輛電車進(jìn)站,問在中途有多少輛電車超過他?
解:仿柳卡問題圖解法,畫出下面的圖:
由圖可知:(1)騎車人從Ｂ站總共遇到12輛從對(duì)面開來的電車到達(dá)Ａ站所用的時(shí)間,恰好等于Ａ站開出7輛車的時(shí)間,即35分鐘。
(2)若騎車人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛電車。
(3)由上到下畫一條斜線(由0到8)即表示騎車人由Ａ站出發(fā)40分鐘后到達(dá)Ｂ站,可見中途共有3輛電車超過他。
2 賦值法
賦值法解題,是對(duì)本身與數(shù)量無關(guān)的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討論,使問題得以解決。
例3 在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。
解 因?yàn)橹挥泻诎變缮遄?所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后
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