高等數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)的相天性

一般人認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相差甚遠(yuǎn)，事實(shí)上它們之間不僅在內(nèi)容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯(lián)系。如果站在高等數(shù)學(xué)的高度來(lái)理解小學(xué)數(shù)學(xué)，會(huì)使人感到小學(xué)數(shù)學(xué)的博大和精深；如果能把小學(xué) 數(shù)學(xué)的內(nèi)容放在高等數(shù)學(xué)這一背景中理解，從某種意義上講小學(xué)數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。如果小學(xué)數(shù) 學(xué)教師都能站在高等數(shù)學(xué)的高度來(lái)進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，那將會(huì)對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念起到非常積極的意 義。本文將從內(nèi)容和思維形式兩個(gè)方面來(lái)揭示小學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。

    一、內(nèi)容的互補(bǔ)性

    高等數(shù)學(xué)中的一些概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中一些量的抽象，而小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容則是高等數(shù)學(xué)中抽象概念的實(shí)例。 如果站在抽象后的高度對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行解釋?zhuān)�那么小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學(xué)數(shù)學(xué)主要的教學(xué)內(nèi)容之一，在高等數(shù)學(xué)中則是映射（代數(shù)運(yùn)算）的幾個(gè)特例而已。如果沒(méi)有小 學(xué)數(shù)學(xué)這些實(shí)例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數(shù)運(yùn)算的概念；如果在掌握了一般的代數(shù)運(yùn)算的概念的 基礎(chǔ)上講解加、減、乘、除，就會(huì)把這些概念講活講完整。一般來(lái)講，高等數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上是從以下 四個(gè)方面進(jìn)行互補(bǔ)的。

    １．個(gè)別和一般

    小學(xué)數(shù)學(xué)中有平均數(shù)的計(jì)算，平均數(shù)在高等數(shù)學(xué)中就是數(shù)學(xué)期望值的特例。如果站在數(shù)學(xué)期望的高度來(lái)講 解平均數(shù)，教師就會(huì)著重強(qiáng)調(diào)平均數(shù)和各個(gè)數(shù)之間差異，學(xué)生就會(huì)知道全班數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和每個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)， 雖然都是分?jǐn)?shù)，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學(xué)生只會(huì)計(jì)算平均分?jǐn)?shù)，而沒(méi)有把平均分?jǐn)?shù)和每個(gè) 學(xué)生的分?jǐn)?shù)加以區(qū)別，那么學(xué)生只是多做了一些四則運(yùn)算的習(xí)題。這樣不僅不能活躍學(xué)生的思維，而且也不利 于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。再如小學(xué)數(shù)學(xué)中求自然數(shù)的正約數(shù)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，則是高等數(shù)學(xué)中代數(shù)基本定理的應(yīng)用 ，并且求解任一正整數(shù)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，在高等數(shù)學(xué)中也有論證。

    ２．有限和無(wú)限

    在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一般是在有限的范圍內(nèi)討論問(wèn)題，有些問(wèn)題則需要利用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行解釋。如小學(xué) 數(shù)學(xué)中數(shù)的認(rèn)識(shí)，內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但是其中數(shù)“數(shù)”及用“對(duì)等”的方法比較兩個(gè)集合之間元素個(gè)數(shù)關(guān)系問(wèn)題 必須讓學(xué)生理解。這是因?yàn)閿?shù)“數(shù)”的方法是高等數(shù)學(xué)中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對(duì)等”的方 法則是比較兩個(gè)集合（有限集、無(wú)限集）之間元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的基本方法。又如，小學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于“自然數(shù)是無(wú) 限的”這一結(jié)論，只有用極限的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行解釋?zhuān)瑢W(xué)生才能正確地理解這一結(jié)論。相反，如果教師沒(méi)有扎實(shí)的 高等數(shù)學(xué)根底，而是采用一些不正確的方法進(jìn)行解釋?zhuān)�不僅不能幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解“自然數(shù)是無(wú)限的”這一 結(jié)論，而且會(huì)影響學(xué)生今后對(duì)極限概念的理解。再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)限循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的互化問(wèn)題，這 一問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中級(jí)數(shù)概念的應(yīng)用，教師在教學(xué)中通過(guò)“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關(guān)系的 解釋?zhuān)�就�?huì)讓學(xué)生再一次體會(huì)極限的概念。

    ３．靜止和運(yùn)動(dòng)

    小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念如果只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，則是靜止的。如２＋３這一表達(dá)式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個(gè)表達(dá)形式，則是運(yùn)動(dòng)的。這是因?yàn)椋喝簦玻剑常�１，３＝１＋２，……那么這個(gè)表達(dá)式變?yōu)椋?３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號(hào)房間和３號(hào)房間里人數(shù)之和，那么這個(gè)表達(dá)式的意義又不同了 。通過(guò)這一次次的變化，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數(shù)思想的雛型。而代數(shù)思 想是研究數(shù)學(xué)的最根本的思想之一。

    ４．推算和預(yù)測(cè)

    小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類(lèi)問(wèn)題是已知現(xiàn)在的值，求原來(lái)的值。例如：現(xiàn)對(duì)甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間的人員進(jìn)行三次調(diào) 整。第一次丙車(chē)間不動(dòng)，甲、乙兩個(gè)車(chē)間中的一個(gè)車(chē)間調(diào)出８人給另一車(chē)間；第二次乙車(chē)間不動(dòng)，甲、丙兩車(chē) 間中的一個(gè)車(chē)間調(diào)出８人給另一車(chē)間；第三

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