高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)誤的再認(rèn)識(shí)論文

　　【摘要】 學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤是在所難免的，有其合理的一面。教師要看到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，本就是一個(gè)不斷的探索、修正、提高，升華的過程。充分利用學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò) 誤，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。把錯(cuò)誤變成有效的教學(xué)資源。

　　【關(guān)鍵詞】 錯(cuò)誤； 合理性； 認(rèn)知； 反思

　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解、掌握乃至應(yīng)用會(huì)出現(xiàn)形形色色的錯(cuò)誤。隨著近年來現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究的深入，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的“錯(cuò)誤”，人們的態(tài)度也發(fā)生了轉(zhuǎn)變：從以前的純粹否定轉(zhuǎn)而對(duì)“錯(cuò)誤”的類型進(jìn)行理解和分析，并力求去發(fā)現(xiàn)其中的積極成分。筆者認(rèn)為，對(duì)于錯(cuò)誤加以充分的分析和利用，不僅可以使教師及時(shí)找出錯(cuò)誤的原因，掌握學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，了解他們?cè)谡J(rèn)知結(jié)構(gòu)上的成熟度，還可以使“錯(cuò)誤”成為有效的教學(xué)資源，引導(dǎo)并幫助完善、更新認(rèn)知結(jié)構(gòu)，調(diào)控思維方向，進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)等，達(dá)到優(yōu)化教學(xué)的目的。

　　1 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)誤的合理性

　　1.1 從學(xué)習(xí)者的角度 李善良先生曾經(jīng)明確提出在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中可以將錯(cuò)誤區(qū)分為“過程性”合理性錯(cuò)誤，并指出所謂“合理性”錯(cuò)誤，“是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中階段、水平的轉(zhuǎn)變及不同的個(gè)性傾向等所帶來的概念的學(xué)習(xí)障礙而造成的一類錯(cuò)誤”［1］。這類錯(cuò)誤具有隱蔽性、長期性，并帶有“合理性”、“規(guī)律性”和“不可避免性”。筆者以為，這一論斷可以推廣到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。

　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的深入，勢必會(huì)更新已有的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)入新的認(rèn)知層次，其思維模式和認(rèn)知結(jié)構(gòu)也必須不斷進(jìn)行調(diào)整和和重新構(gòu)建。然而，學(xué)生在先期學(xué)習(xí)中的模式、結(jié)構(gòu)以及產(chǎn)生的一些習(xí)慣已經(jīng)穩(wěn)固地存在他們的頭腦中，所以學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，由慣性而帶來的一些在思維、認(rèn)知中的弊端就會(huì)凸現(xiàn)出來，形成數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的障礙而產(chǎn)生錯(cuò)誤，產(chǎn)生負(fù)遷移。建構(gòu)主義認(rèn)為，錯(cuò)誤就是學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)構(gòu)建的結(jié)果，是“意義賦予”的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，本就是一個(gè)不斷的探索、修正、提高，升華的過程。由此可見，錯(cuò)誤是其中不可避免的一個(gè)環(huán)節(jié)�！皞�(gè)體的成長不僅是由于反抗他內(nèi)部的錯(cuò)誤性，而且也是依靠他內(nèi)部的錯(cuò)誤性”［2］。 通過錯(cuò)誤的發(fā)現(xiàn)和解決，才能構(gòu)建真正意義上的新知，把認(rèn)知從已有的不良結(jié)構(gòu)領(lǐng)域向良好結(jié)構(gòu)領(lǐng)域轉(zhuǎn)變，并進(jìn)一步補(bǔ)充和完善，從而實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

　　1.2 從教師的角度

　　在醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，由于課時(shí)緊，教學(xué)任務(wù)重，（涉及的高等數(shù)學(xué)知識(shí)涉及數(shù)學(xué)分析、微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等多門高等數(shù)學(xué)的分支），許多教師常常對(duì)學(xué)生采用自覺不自覺的采用了大容量、快節(jié)奏的“滿堂灌”的授受方式，其結(jié)果是導(dǎo)致學(xué)生對(duì)所學(xué)或是知識(shí)一知半解、或者體會(huì)不深刻，直接導(dǎo)致了最終形形色色的錯(cuò)誤產(chǎn)生，甚至使學(xué)生產(chǎn)生畏難、厭學(xué)的情緒。而教師對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中過程中產(chǎn)生的錯(cuò)誤不重視，或者視而不見，更有甚者，基本上在課堂上就剝奪了學(xué)生“犯錯(cuò)誤”的機(jī)會(huì)，只是將正確的、“標(biāo)準(zhǔn)”的答案一再重復(fù)，這種方式表面上看是面面俱到，完美無缺，卻不知?jiǎng)儕Z了學(xué)生犯錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，也就是剝奪了學(xué)生思考的空間，使得他們失去了體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)的過程，從而也就失去了真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法和豐富情感體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，是得不償失的。

　　2 錯(cuò)誤的意義、價(jià)值

　　錯(cuò)誤的產(chǎn)生不僅具有合理性的一面，對(duì)新知的構(gòu)建、思想方法的理解還有著重要意義和極大價(jià)值的。

　　2.1 構(gòu)成認(rèn)知的沖突，激發(fā)求知欲（動(dòng)機(jī)理論）

　　在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)新的知識(shí)產(chǎn)生影響。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以前，學(xué)生接觸的大都是初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。而初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)由于學(xué)習(xí)的內(nèi)容和思想方法的不同（從有限到無限，從一元到多元等等）很多學(xué)生不能很快的實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，以前的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法直接遷移或者推廣到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從而產(chǎn)生錯(cuò)誤。

　　例如：求極限：limn→∞(1+2+…nn2) ，學(xué)生很自然的了解每一項(xiàng)趨于0，一共有多少項(xiàng)呢？不少學(xué)生回答：n項(xiàng)。那么結(jié)果呢？很多學(xué)生熟悉結(jié)果，答曰：1/2�；蛘哌M(jìn)行爭論：應(yīng)該是0 ��！為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？學(xué)生自己會(huì)反思，得到n→∞ 的結(jié)論，自己會(huì)發(fā)現(xiàn)有限的結(jié)論不能直接應(yīng)用與無限項(xiàng)。這樣構(gòu)造了認(rèn)知沖突，比直接闡述告知：“有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小”效果會(huì)好許多。

　　我們可以認(rèn)為，盡管在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生會(huì)時(shí)常出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，從表面上看，教學(xué)過程似乎不是那么“完美”。但是，正是這類錯(cuò)誤導(dǎo)致的矛盾和謬誤，才更能引起學(xué)生的懷疑和求知的動(dòng)力。在這樣的懷疑和沖突中，強(qiáng)烈的求知欲被激發(fā)，思維的火花被點(diǎn)燃，他們才能更積極地、主動(dòng)地、深入地去探索和把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，調(diào)整和構(gòu)建新的、正確的思維模式和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。也正是通過不斷地“引起認(rèn)知沖突”，對(duì)所產(chǎn)生的懷疑和沖突不斷地加以消除，才能最終促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知不斷發(fā)展和完善。

　　2.2 促進(jìn)教學(xué)反思

　　教學(xué)反思，是教學(xué)活動(dòng)中極為重要的但往往在實(shí)際教學(xué)中被忽略了的環(huán)節(jié)。很多學(xué)生不知道反思，或者不知如何進(jìn)行反思，筆者以為，學(xué)習(xí)中“錯(cuò)誤”的出現(xiàn)是進(jìn)行反思的良好契機(jī)。

　　2.2.1 發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，反思的最佳時(shí)機(jī)：學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤是在所難免的。有時(shí)候，為了更好的突出或者強(qiáng)調(diào)某個(gè)重點(diǎn)，教師在必要時(shí)可以預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，有意識(shí)地給學(xué)生造成思維障礙。而當(dāng)錯(cuò)誤出現(xiàn)，學(xué)生思維受阻時(shí)，就是進(jìn)行反思的最好時(shí)機(jī)。

　　在講解洛必達(dá)法則時(shí)，學(xué)生對(duì)limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=limx→af″(x)F″(x)=L 這種形式非常喜歡，往往容易忽視洛必達(dá)法則的使用條件。于是教師讓學(xué)生判斷：limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞(1-sinx) 是否正確，是否可以說極限不存在，洛必達(dá)法則失效？在學(xué)生議論、爭論時(shí)，教師適時(shí)地加以引導(dǎo)，讓他們反思定理的使用條件，印象會(huì)更加深刻。

　　例如：求證 sin(x2sin1x) 是x的高階無窮小，很多學(xué)生會(huì)給出這樣的證明：

　　證： limx→0sin(x2sin1x)x=limx→0x2sin1xx=limx→0xsin1x=0

　　∴ sin(x2sin1x) 是x的高階無窮小。

　　這個(gè)推演過程是不正確的。但是，又是學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)犯的錯(cuò)誤。

　　顯然，學(xué)生在第一步對(duì)等價(jià)無窮小替換方法的使用出現(xiàn)了不恰當(dāng)遷移，即認(rèn)為當(dāng) x→0 時(shí)，有sinx等價(jià)于x, ∴ 當(dāng)x→0時(shí)，自然有sin(x2sin1x) 等價(jià)于x2sin1x ， 事實(shí)上，學(xué)生往往忽視了等價(jià)無窮小進(jìn)行比較時(shí)，要求有“作為分母的函數(shù)在變化過程中不能為零”（當(dāng)x=1nπ時(shí) ，分母為0）這一重要條件，所以導(dǎo)致了錯(cuò)誤。

　　教師要給學(xué)生充分的、嘗試錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，并使其在錯(cuò)誤中進(jìn)行反思，找到問題的癥結(jié)所在，既達(dá)到溝通新舊知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)特征，又可以進(jìn)一步深化對(duì)所學(xué)知識(shí)、思想方法的理解，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　2.2.2 糾正錯(cuò)誤，反思思維的靶向性： 出現(xiàn)了錯(cuò)誤，及時(shí)進(jìn)行反思，以調(diào)整自己的思維，這一策略隨著教學(xué)的推進(jìn)，很多學(xué)生也逐漸意識(shí)到其重要性。如何解決和糾正錯(cuò)誤，就涉及到反思的方向問題。但是反思什么，如何反思，怎樣調(diào)整思維策略，具體的方向怎樣，是他們所不知道的。教師要在此時(shí)，結(jié)合具體的例子，具體的分析，引導(dǎo)或者幫助學(xué)生掌握一定的思考方向，減少活動(dòng)的盲目性、試誤性，增加成功的概率，即所謂靶向性的養(yǎng)成，形成良好的思維習(xí)慣，優(yōu)化思維品質(zhì)。

　　例如：判斷：若f(x)在閉區(qū)間上有原函數(shù)F（x），問f(x)是否可積？

　　對(duì)于這樣的問題，很多學(xué)生理所當(dāng)然的認(rèn)為有原函數(shù)就是可積，兩者是等價(jià)的。當(dāng)教師給出否定的答案時(shí)，他們顯得茫然無措，不知道所以然，更不知遇到此類問題應(yīng)該從哪個(gè)方向思考。由于課時(shí)的原因，我們直接給出了反例，可以說明函數(shù)具有原函數(shù)和可積是沒有必然聯(lián)系的。

　　f(x)=2xcon1x2+ 2xsin 1x2, x∈(0,1］

　　0, x=0

　　而：F(x)=f′(x)=x2sin1x2, x≠0

　　0, x=0

　　但是學(xué)生僅僅記住或者知道這個(gè)結(jié)論是沒有任何意義的。于是引導(dǎo)學(xué)生思考什么是原函數(shù)?可積是在什么時(shí)候提出的概念？

　　錯(cuò)誤的結(jié)果使學(xué)生激起了探索、求知的欲望，在教師層層推進(jìn)的問題中，學(xué)生逐漸明確了思維方向，及時(shí)調(diào)整、改進(jìn)了自己的思維策略，使得思考更有針對(duì)性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)自我認(rèn)知的調(diào)控。

　　2.2.3 回顧錯(cuò)誤的解決過程，形成反思習(xí)慣：一個(gè)數(shù)學(xué)問題解決后，并不意味著活動(dòng)的結(jié)束，學(xué)習(xí)者要回顧整個(gè)問題的解決過程，分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，是因?yàn)檎J(rèn)知結(jié)構(gòu)的不夠完善，還是由于錯(cuò)誤的、不充分的信息的加入，包括所涉及的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生自己的思考過程中的方向問題，力求甄別出認(rèn)知結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)良好的領(lǐng)域以及需要完善的領(lǐng)域等等，形成良好的反思習(xí)慣。

　　此外，除了引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)外，教學(xué)反思還應(yīng)該包括教師對(duì)教學(xué)的全過程的反思。教師的反思應(yīng)該著眼于針對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)生的學(xué)情，教學(xué)實(shí)施的具體過程以及結(jié)果進(jìn)行反思。在錯(cuò)誤發(fā)生時(shí)以及課程結(jié)束后，教師也要根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的具體情況，積極進(jìn)行自我反思：包括教學(xué)的過程是否和教學(xué)的設(shè)計(jì)相符合，調(diào)控，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是由于強(qiáng)調(diào)的不夠還是偶爾的疏忽，甚至是自己理解的偏差，以后的教學(xué)還需要在哪些方面作出調(diào)整等。同時(shí)，及時(shí)準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、識(shí)別錯(cuò)誤，甚至有意識(shí)地預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，或者把錯(cuò)誤引而不發(fā)以給學(xué)生自己改正錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)等等，無一不對(duì)教師自身提出了更高的要求。教師要不斷的提高自身的修養(yǎng)，力求使教學(xué)水平不斷提高。

　　【參考文獻(xiàn)】

　　1 李善良． 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤分析．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002,8.

　　2 鄭毓信． 數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代發(fā)展．南京： 江蘇教育出版社，1999.

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