關于LCM方程的李-曹猜想的注記

在研究Hong關于定義在gcd封閉集上的冪LCM矩陣[Se](e為正整數(shù))的非奇異性的一個猜想時,李和曹研究了如下的不定方程(稱為LCM方程):1lcm[y1,y2,y3,y4]-∑〖DD(;M]4i=11yi+1gcd(y1,y2)+1gcd(y1,y3)+1gcd(y2,y3)=0.他們首先證明了當ω(y)＜4時,方程無解,這里y=lcm[y1,y2,y3,y4],ω(y)表示y的不同素因子的個數(shù);然后他們給出ω(y)=4且y=p21p22p23p2m4時,方程有2次冪整數(shù)解的必要條件,這里pi為不同素數(shù),m≥1;根據(jù)這些必要條件他們接著驗證了方程當y≤1 334 025時沒有2次冪整數(shù)解;最后他們提出猜想:若n≤9,則定義在gcd封閉集S={x1,...,xn}上的平方LCM矩陣[S2]是非奇異的,即LCM方程沒有2次冪整數(shù)解.本文作者推廣了李-曹關于LCM方程有2次冪整數(shù)解的研究:首先給出了當ω(y)=4且y=p2m11p2m22p2m33p2m44時,方程有2次冪整數(shù)解的必要條件,并給出了當ω(y)≥4時,方程解的表達式(如果存在的話),這里pi為不同素數(shù),mi≥1;然后根據(jù)這些必要條件在計算機上驗證了方程當y≤260 620 460 100時沒有2次冪整數(shù)解,進一步支持了李-曹猜想.

作 者： 方露艷 FANG Lu-Yan   作者單位： 安徽師范大學數(shù)學系,蕪湖,241000  刊 名： 四川大學學報（自然科學版）  ISTIC PKU 英文刊名： JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)  年，卷(期)： 2008 45(3)  分類號： O156.1  關鍵詞： gcd封閉集   (冪)LCM矩陣   LCM方程  

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