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高三等差數(shù)列求和七大方法
1.公式法。
2.錯(cuò)位相減法。
3.求和公式。
4.分組法。
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.
5.裂項(xiàng)相消法。
適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。
小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。
注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)
1、余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。
2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。
6.數(shù)學(xué)歸納法。
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：
(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù))時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
例：
求證：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明：
當(dāng)n=1時(shí)，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當(dāng)n=k+1時(shí)有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證
7.并項(xiàng)求和法。
(常采用先試探后求和的方法)
例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一：(并項(xiàng))
求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。
方法二：
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三：
構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。
an=n(-1)^(n+1)
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