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算法優(yōu)化要五問
在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》(實驗稿)中輸入關(guān)鍵詞"多樣化"進行搜索，多達19處，其中有8處是直接或間接針對"算法"提出的。而搜索"算法優(yōu)化""最優(yōu)化""優(yōu)化"等關(guān)鍵詞，卻是一無所獲。從本人所涉獵的書籍、資料中也可以看出，對二者闡述的材料的數(shù)量也是天壤之別。這說明我們的相關(guān)研究對算法多樣化是偏愛有加的，卻冷落了算法優(yōu)化。算法多樣化和算法優(yōu)化是一對"歡喜冤家"，它們一個重在"多"，是一個"散"的過程，另一個重在"優(yōu)"，是一個"聚"的過程。同時，它們又是密不可分的，算法優(yōu)化是算法多樣化的繼續(xù)，是算法多樣化的最終歸宿。因為學(xué)生的思維存在著差異性、層次性，有些算法不具有普遍性，有些算法操作繁瑣，有些算法思維層次偏低，這就需要我們的教師對這些算法要進行提升。正如葉瀾教授所說："沒有聚焦的發(fā)散是沒有價值的，聚焦的目的是為了促進學(xué)生發(fā)展。"但是，我們有些教師唯恐對算法進行優(yōu)化會影響算法的多樣化，會制約著學(xué)生思維的發(fā)展，會被聽課者定位于"穿新鞋走老路"，會和課標中的"應(yīng)重視口算，加強估算，提倡算法多樣化"相悖。于是，部分教師沒有意識到算法優(yōu)化的意義，沒有理順優(yōu)化與多樣化的辯證關(guān)系，沒有掌握具體的優(yōu)化策略，不考慮學(xué)生已有的知識水平和學(xué)生的切身感受，不讓學(xué)生的經(jīng)歷觀察、思考、交流、選擇、體驗、再思考、再選擇、最后感悟等幾個漸進的層次而硬性地去優(yōu)化，出現(xiàn)了算法優(yōu)化的表面化、形式化的現(xiàn)象。更有甚者，個別教師"開門見山"，直接把"最優(yōu)化"的算法呈現(xiàn)給學(xué)生，"親自"幫助學(xué)生在多種算法中找出那些有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進學(xué)生學(xué)習(xí)可持續(xù)發(fā)展、接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的算法。本文僅把算法優(yōu)化中五個常見現(xiàn)象及應(yīng)對策略呈現(xiàn)給大家，請老師們在進行算法優(yōu)化之前問問自己，是否思考了這樣幾個問題。
一問：是否關(guān)注學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)?
在算法優(yōu)化的過程中，讓每個學(xué)生掌握一種方法是優(yōu)化的基礎(chǔ)，讓學(xué)生全身心的參與到優(yōu)化過程中來是關(guān)鍵。但是，在實際的教學(xué)中，我們不難看到，仍有部分學(xué)生總是認為自己的算法是經(jīng)過自己獨立嘗試、探索得來的，是自己勞動的"成果"，所以不愿意放棄自己最初的方法。
例如：一年級下冊的"十幾減9"。
在研究13-9=?的時候，由于教師給學(xué)生留足了探究的時間，學(xué)生們出現(xiàn)了數(shù)一數(shù)、破十法、平十法、想加算減法和推理的方法共五種，下面是一個老師進行算法優(yōu)化的課堂簡錄：(由于學(xué)生的回答太多，所以改成了敘述的形式)
老師安排四個同學(xué)為一學(xué)習(xí)小組，依照次序說一說五種方法的計算特點。然后是指名進行全班匯報。
師：我們已經(jīng)研究了這五種方法，你喜歡哪種方法?
學(xué)生們的意見很不統(tǒng)一，五種方法都有學(xué)生說喜歡。
師：如果讓你重新選擇一種方法計算，你會選哪一種?為什么要選這一種?
由于方法一需要學(xué)生數(shù)一數(shù)，比較費時、方法五的邏輯性太強，有些孩子不能從實質(zhì)上進行理解、方法四是采用逆向思維來解決問題，所以，這三種方法學(xué)生選擇的較少，而平十法和破十法卻倍受孩子們的青睞，大多數(shù)的孩子都選擇了這兩種算法。
五種方法都有學(xué)生選擇，只是選的人數(shù)多與少而已。教師似乎已經(jīng)估計到會出現(xiàn)這種情況，于是不緊不慢的又拋出一個問題。
師：用你喜歡的方法再算一題17-9=?
評析：教師此舉旨在讓學(xué)生通過再做一道題目，一是試圖讓部分學(xué)生根據(jù)對五種方法研究和交流而調(diào)整自己的思路，放棄自己最初的方法而去重新選擇；二是讓部分學(xué)生比較前、后兩種方法，通過兩種方法的對比，感受到新選擇方法的優(yōu)勢。但是，學(xué)生是否愿意買老師的"帳"呢?看看學(xué)生的反饋情況就知道了。
第二次交流的時候，已經(jīng)沒有學(xué)生選擇方法一和方法五了，僅有幾個學(xué)生選擇想加算減的方法，大部分的學(xué)生仍然選擇平十法和破十法。這種情況好像出乎教師的預(yù)料。于是，教師只好再次引導(dǎo)：
師：方法二的13-9=10-9+3和方法三的13-9=13-3-6，它們都是幾步計算?
生：兩步。
師：而想加算減的方法，只要想9加幾(4)等于13，然后直接寫出13-9=4。你們比較一下，到底是哪種方法方便?
學(xué)生不語。
教師有些著急，又問了一次。
個別學(xué)生小聲說：先減3再減6，好算。
還有的學(xué)生說：先用10減9，好減。
對于學(xué)生的"頑固不化"和"堅持到底"，教師只好來"硬"的了。
師：我們一定要掌握第四種算法，因為它對今后的學(xué)習(xí)很重要。
…
思考：學(xué)生為什么就是不"入套"、不"中招"呢?建構(gòu)主義認為學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行建構(gòu)的，這就是說要實現(xiàn)算法最優(yōu)化的建構(gòu)，教師就要關(guān)注學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)。"想加算減"這種方法對學(xué)生思維靈活性的訓(xùn)練和后續(xù)知識的學(xué)習(xí)都很有幫助，是我們這一節(jié)課優(yōu)化的目標，比較省時、比較快捷，但是這種方法在五種方法中卻是最困難的。因為，這種方法不僅需要學(xué)生有一定的推理能力，更需要學(xué)生有非常熟練的20以內(nèi)加法的基礎(chǔ)。換句話說，要想讓學(xué)生掌握"想加算減"這種方法，學(xué)生不僅對20以內(nèi)的加法達到脫口而出的熟練程度，還要會根據(jù)加法算式寫出相應(yīng)的減法算式，會熟練地求括號里的未知數(shù)，沒有了這些基礎(chǔ)，"想加算減"的方法就免談。心理學(xué)家奧蘇貝爾在他的代表性論著《教育心理學(xué)：一種認知觀》一書的扉頁中寫到："假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)。"所以，我們在優(yōu)化算法的時候一定要思考：優(yōu)化的目標距離學(xué)生有多遠?新知識的生長點在哪里?新舊知識的"支架"在何處?怎樣準確定位學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)等問題。就本節(jié)課而言，教師在課前對學(xué)生的20以內(nèi)加法的熟練程度和求括號中未知數(shù)的掌握情況進行了解，并有針對性地進行訓(xùn)練和鋪墊，夯實優(yōu)化的基礎(chǔ)，才能順利完成算法優(yōu)化的目標。
二問：是否守住了學(xué)生的"底線"?
教師出示掛圖。(一年級上冊)
師：我們先來仔細觀察圖，桃子是怎樣擺的?
生：盒子里有9個，盒子外有4個。
師：要求一共有多少個桃?該怎樣列式呢?
生：9+4=13
師：9+4=13，你是怎么想的?
生：拿一個桃子到盒子里，盒子里就有10個，10個再加上3個等于13個。
師：你用的是9找1變成10的方法。找到了10，算起來就很快了。簡單的說，就是"湊十法"，你真棒！其他同學(xué)聽懂了嗎?
還沒有等學(xué)生回答，教師就說：那么，我們就用他的方法擺一擺，移一移桃子圖，找找結(jié)果，好嗎?
…
這種模式在很多的課堂上都是習(xí)以為常的，老師寫出算式或剛提出問題后，只要有學(xué)生舉手，教師就立即讓舉手的孩子來回答，一個或幾個優(yōu)秀的學(xué)生與教師產(chǎn)生互動完成了教學(xué)任務(wù)。其實，舉手的僅是一部分學(xué)生，多數(shù)還是優(yōu)等生，還有相當(dāng)多的中等及中等以下的學(xué)生沒有舉手或者還沒有來得及舉手。另外，這些舉手的學(xué)生真的經(jīng)過獨立思考了嗎?真的經(jīng)過自主探索了嗎?這樣的教學(xué)，一是直接導(dǎo)致了部分學(xué)生游離于教學(xué)活動之外；二是導(dǎo)致了學(xué)生嚴重的"兩極"分化，成績稍差的學(xué)生沒有機會品嘗到成功的喜悅；三是忽略了每人至少掌握一種算法的基本要求。
每個學(xué)生至少掌握一種算法，這是算法優(yōu)化的"底線"。因為，只有每個同學(xué)都有了自己的算法，才能構(gòu)成算法的多樣化；只有出現(xiàn)算法多樣化的局面，才能進行算法的優(yōu)化。鑒于此，教師一定要舍得放手，相信學(xué)生，故意放慢教學(xué)的進程。首先，面對數(shù)學(xué)問題，要給學(xué)生充分的獨立思考的時間，并提出要求：每個同學(xué)至少要想出一種方法，并把這種方法在腦海中用自己的語言說一遍，完成后才可以去思考第二或第三種方法。這樣一來，好的學(xué)生能想起幾種方法，思維得到了全面的展開和激活，實現(xiàn)了"吃好"的目標；中下等的學(xué)生也能有一種方法"保底"，達到了"吃飽"的標準。其次，在小組交流的時候，老師要有意識的讓那些學(xué)習(xí)困難的學(xué)生先發(fā)言，爭取讓每一個學(xué)生都能把自己的思維過程暴露出來。這樣的處理，每個孩子都要認真思考，都要自主探索，都會積極參與到學(xué)習(xí)活動中來，"學(xué)困生"也能得到充分的展示，實現(xiàn)了好、中、差學(xué)生"同步走"的全面發(fā)展的目標，這才是"不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展"的理念的具體體現(xiàn)。
三問：是否為了優(yōu)化而故意多樣化?
二年級下冊"一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算"
教師出示情境圖引導(dǎo)學(xué)生列出算式14×2后，安排學(xué)生自主探究解決的方法，然后組織全班交流。
生1：兩個10是20，兩個4是8，加起來是28。
生2：兩個14加起來是28，所以14乘2是28。
生3：我是看圖的，左面兩個筐里是20個，右面筐里是8個，合起來是28個。
教師意猶未盡，繼續(xù)問：除了乘法、加法、看圖三種方法以外，還有別的解法嗎?
等了半天，教師看見沒有學(xué)生舉手，唯恐"冷"了場，又拋出一個"技術(shù)性含量"很高的問題：剛才的三個學(xué)生非常聰明，能認真開動腦筋，想出了屬于自己的解題方法。誰能超過他們?
過了一會，終于有學(xué)生舉手了。
生4：14加10等于24,24加4等于28。
這個答案可能讓教師始料未及，所以教師楞了一下，接著說：還有嗎?
生5：4加14等于18,18加10等于28。
…
表內(nèi)乘除法、對乘法意義的理解，在二年級上冊已經(jīng)學(xué)過了。本節(jié)課，主要是讓學(xué)生掌握一位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算。而在上例中，教師卻"跑題"了，距離本節(jié)課的教學(xué)重點--學(xué)會一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算和教學(xué)難點--理解一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理卻是漸行漸遠了。仔細分析之：都是算法優(yōu)化惹的禍。
算法優(yōu)化為什么會惹禍呢?這是我們的老師對算法優(yōu)化的誤解，有些老師認為：算法多樣化就是方法要多種多樣，學(xué)生的解題方法越多越好，方法多了才能把學(xué)生的思維激活起來，方法多了才是算法多樣化，只有達到算法多樣化才能實現(xiàn)算法優(yōu)化。正是在這樣的理念指導(dǎo)下，教師才讓學(xué)生盡可能的尋找算法，前三個學(xué)生的方法已經(jīng)很好了，而教師還是認為方法太少不便于優(yōu)化，于是繼續(xù)引導(dǎo)，讓學(xué)生說出了兩種加法中的算法。因為本節(jié)課學(xué)習(xí)的是乘法豎式，所以這兩種方法是屬于低層次的算法，前面三個學(xué)生已經(jīng)超越了這些算法，教師應(yīng)該乘勢而上，抓緊進入豎式的教學(xué)，而不是偏離主題，為了算法優(yōu)化而故意設(shè)置所謂的算法多樣化。實際上，并不是所有題目都要實現(xiàn)算法多樣化的，教師不要為了對計算方法進行優(yōu)化而讓學(xué)生去機械地多樣化，更不能在學(xué)生已經(jīng)掌握基本算法的基礎(chǔ)上去倒退學(xué)生的思維，逼迫學(xué)生找出低層次的算法，完成老師"湊數(shù)"的目的。
四問：學(xué)生是否具有了優(yōu)化的意識?
請看課例：六年級上冊的"分數(shù)除以整數(shù)"
學(xué)生列式后師問：你們會計算嗎?
生：會。
師：你們先算算看，看誰的方法多?
學(xué)生練習(xí)后匯報如下：
生1：÷2=÷2=
生2：求÷2就是求的是多少?所以÷2=×=
生3：因為×2=所以÷2=
生4：我是用畫圖的方式求(走上黑板作圖)
…
師：這些方法都不錯，你喜歡哪種方法?為什么喜歡這種方法?同位之間先說一說。
在同桌交流后，教師指名回答。結(jié)果，有的說方法一好計算，有的說方法四看得明白，還有的說方法二約分起來方便，等等。眾說紛紜，莫衷一是。
教師見出現(xiàn)了這種情況，只好指著方法二直接說：這種方法具有普遍性，有推廣的價值，今后我們就用這種方法來解答分數(shù)除以整數(shù)的題目�？墒菍W(xué)生們真的服氣嗎?課堂上仍然能聽到有學(xué)生小聲嘀咕說方法一更簡便。
看到這樣的課例，我們不禁要問：算法優(yōu)化是告訴?是推薦?還是教師的"一廂情愿"?
建構(gòu)主義認為，學(xué)習(xí)不是知識由教師向?qū)W生的傳遞，而是學(xué)生建構(gòu)自己的知識的過程；學(xué)習(xí)者不是被動的信息接受者，相反，他要主動地建構(gòu)信息的意義，這種建構(gòu)不可由其他人代替。從這段理論中，我們可以很明顯的感覺到，教師的"告訴"時逼著學(xué)生被動的接受知識，并不是學(xué)生主動建構(gòu)的過程。雖然，在算法優(yōu)化的過程中，我們不排斥教師的指導(dǎo)和引領(lǐng)作用。但是，一切要順其自然，孔子強調(diào)："不憤不啟不悱不發(fā)"，這就要求教師一定要創(chuàng)設(shè)一個體驗的情景，讓學(xué)生產(chǎn)生優(yōu)化的意識，對算法優(yōu)化的指導(dǎo)要適時、適當(dāng)、適度，絕對不能"強行優(yōu)化"，逼迫學(xué)生去按照自己的意愿去選擇算法，"瓜熟自然就蒂落"，一定要等到時機成熟，學(xué)生有優(yōu)化的沖動時再進行優(yōu)化。針對上面的例子，教師可以安排學(xué)生進行計算比賽，通過比賽使學(xué)生主動去探尋落后的原因，思索自己所使用算法的優(yōu)劣，產(chǎn)生需要對算法進行優(yōu)化的內(nèi)在需求，然后再組織學(xué)生討論交流，讓學(xué)生們說出喜歡哪種方法和為什么喜歡這種方法。在學(xué)生的討論中，學(xué)生會因為方法四的麻煩和方法三思考的困難而將這兩種方法淘汰，只剩下方法一和方法二。這樣，教師就讓學(xué)生無意識的排除了兩種方法，達到了第一次優(yōu)化的目的。然后，教師可以讓學(xué)生再用自己喜歡的方法計算型如÷4=?÷5=?之類的題目，讓學(xué)生在實際的計算中感受到方法一的局限性，再一次產(chǎn)生矯正自己思路的內(nèi)需，篩選出適合自己的方法，從而達到自覺優(yōu)化的境界。
五問：學(xué)生是否經(jīng)歷了優(yōu)化的過程?
一個故事：有人發(fā)現(xiàn)已經(jīng)裂開一條縫的繭中蝴蝶正在痛苦地掙扎，他于心不忍，便拿起剪刀把繭剪開，幫助蝴蝶脫繭而出�？墒�，蝴蝶卻因為身體臃腫、翅膀干癟，根本飛不起來，不久就死去了。省去了過程看似為其免去了痛苦，但結(jié)果卻適得其反，忽略了過程，其結(jié)果是可悲的，學(xué)生的學(xué)習(xí)不也是這樣嗎?
三年級下冊"兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算"
教師出示情境圖，指名列出算式12×10，先是布置學(xué)生獨立思考計算的方法，然后四個學(xué)生為一個學(xué)習(xí)小組進行組內(nèi)交流討論形成自己小組的解答方法(教師唯恐不能構(gòu)成多樣化的算法，還時不時的邊巡視邊提醒學(xué)生：盡量不要和其他小組的方法一樣)，最后是各小組代表匯報，教師板書：
生1：12×2=24 24×5=120。
生2：12×5=60 60×2=120。
生3：2×10=20 20×6=120。
生4：12+12+12+…+12=120。
生5：12×9=108,108+12=120
生6：10×10=100,10×2=20,100+20=120。
生7：10×4=40,10×8=80,40+80=120。
生8：12×1=12,12×10=120。
生9：12×5=60,12×5=60,60+60=120。
…
由于班級的學(xué)生數(shù)較多，還有幾個學(xué)生躍躍欲試，老師急忙打住。夸獎道：同學(xué)們真棒，想出了這么多的方法。請你們用自己喜歡的方法計算下面三題。
27×10 30×23 50×30
通過課堂巡視可以看出，不少學(xué)生沒有改變算法，繼續(xù)使用自己剛才的方法進行計算。等到全班匯報交流的時候，老師讓選擇各種方法的同學(xué)分別舉手，居然沒有過半數(shù)的學(xué)生選擇同一種算法。
反思：本節(jié)課上，既有學(xué)生個人的獨立思索，又有小組的合作交流，既讓每一個學(xué)生經(jīng)歷了算法的探索過程，又形成了豐富多彩的研究成果，既體現(xiàn)出新的學(xué)習(xí)方式，又讓學(xué)生的思維得到了展開。但是，為什么最后的優(yōu)化沒有成功呢?原因就在于沒有讓學(xué)生參加算法優(yōu)化的過程。
建議：在學(xué)生們匯報出多種算法以后，教師可以分成了這樣的幾個步驟：
第一步：讓學(xué)生把9種方法進行歸類。再一次給學(xué)生提供了獨立思考和小組合作的機會，達成共識，形成小組意見，最后是全班交流。師生共同把各種算法的不同點進行比較并分為這樣的幾類：(1)學(xué)生1、2、3都是轉(zhuǎn)化成連乘；(2)學(xué)生4用的是連加法；(3)學(xué)生5、6、7、9轉(zhuǎn)化成兩個兩位數(shù)乘一位數(shù)，再把所得的積相加；(4)學(xué)生8是先和1相乘，再在末尾添上一個0。
由于前三種算法的算理很明顯，所以教師著重向?qū)W生講清最后一種方法計算的道理。
第二步：對歸納后的四種算法進行比較。安排學(xué)習(xí)小組進行討論、比較這四種方法，找出自己喜歡的、自認為比較簡便的方法，再指名匯報。
第三步：請你們用自己喜歡的方法計算下面三題。
27×10 30×23 50×30
第四步：前、后兩次的解題方法進行對比。讓學(xué)生仔細觀察自己的練習(xí)作業(yè)，看看自己在解答12×10的時候用什么算法，現(xiàn)在做27×10、30×23、50×30的時候又用什么算法?然后思考：自己的計算方法前后改變嗎?為什么改變或者為什么沒有改變，并在小組內(nèi)說說理由。
經(jīng)過這樣反復(fù)思考、對照、探究，一定會順利完成算法優(yōu)化的教學(xué)任務(wù)。
評析：沒有比較，就沒有鑒別；沒有鑒別，就沒有思考；沒有思考，就沒有感悟；沒有感悟，也就沒有了優(yōu)化。前蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利說過："兒童單靠動腦，只能理解和領(lǐng)會知識；如果加上動手，他就會明白知識的實際意義；如果再加上心靈的力量，那么認識的所有大門都將在他面前敞開，知識將成為他改造事物和進行創(chuàng)造的工具。"這就是說，在算法優(yōu)化的過程中，學(xué)生們僅僅用眼觀察、動腦思考還是不夠的，還要加上動手和心靈的力量。學(xué)生在選擇簡便算法的時候，雖然也經(jīng)過了觀察和思考，但是對所有的算法沒有一個整體的認識。教師讓學(xué)生說出簡便的原因和兩種方法的比較，讓學(xué)生的思路出現(xiàn)逆轉(zhuǎn)，又一次把學(xué)生的思維過程暴露了出來，然后是動手操作--用自己認為比較簡便的方法再次計算，最后是在動手的基礎(chǔ)上再一次提升，用心靈去比較、去感悟，這時候?qū)W生的思考是是全面的，感悟是深刻的、系統(tǒng)的，順利的把優(yōu)化后的方法進行了內(nèi)化，完成了探究→交流→觀察→思考→選擇→體驗→比較→再選擇→感悟→內(nèi)化的完整鏈接，從而形成了較高層面上的認識。
該文發(fā)表于《中國教師》
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