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尋求算理與算法的平衡--以異分母分數(shù)加減法教學為例
分數(shù)知識的學習歷來是小學數(shù)學的難點，而異分母分數(shù)加、減法是正數(shù)范圍內(nèi)關于加減法的一次終結，也是學生由直觀思維走向抽象思維的重要一步。如果說前面學習的整數(shù)加、減法以及小數(shù)加、減法還可以依靠比較直觀的計數(shù)單位，學生還能理解相同計數(shù)單位相加的算理，而在異分母分數(shù)加、減法里，直觀的計數(shù)單位隱去了，只留下了相對抽象的分數(shù)單位。分數(shù)單位又不像其他計數(shù)單位那樣單純具有規(guī)律性，而且分數(shù)單位的數(shù)量也是無限的�；诖�，我們必須深刻理解加、減法運算的算理本質--只有相同的計數(shù)單位才可以進行加、減法運算，這也就成了這部分內(nèi)容的基本出發(fā)點。本單元主要學習異分母分數(shù)加減法的計算及其應用。其中，第80~82頁教學兩個分數(shù)相加或相減，重點是異分母分數(shù)的加、減法；第83~85頁教學三個分數(shù)的加、減計算，積累一些計算經(jīng)驗。本課的教學重點是讓學生理解異分母分數(shù)加法和減法的算理，即先通分再計算，以符合相同計數(shù)單位相加、減的基本原理。教學難點是理解通分的必要性。
本期呈現(xiàn)了吳梅香和馮玉新老師的兩篇教學設計與說明。兩位老師都能比較好地理解教材的編排意圖，依據(jù)知識的特點和學生的認知基礎，精心設計與教學，他們的共同特點是--尋求算理與算法的平衡。
1.充分發(fā)揮知識遷移作用。心理學家奧蘇伯爾曾說過：影響學生學習的唯一最重要的因素是--學生已經(jīng)知道了什么。影響學生學習異分母分數(shù)加、減法的已有知識有很多，其中最重要的是兩點：一是相同計數(shù)單位相加減的原理，二是通分的概念。為幫助學生順利完成知識的遷移，兩位老師都注重尋找學生原有認知結構中可利用的相關舊知，如吳老師通過復習分數(shù)的意義結合問題情境讓學生選擇兩個分數(shù)求和，學生列式并計算了15+25=35和49+19=59；馮老師通過現(xiàn)實的問題情境讓學生計算經(jīng)過汽車南站到南岸景觀園的線路所用時間，學生列出了+==。此處再現(xiàn)同分母分數(shù)加法，有利于激活學生相關認知經(jīng)驗，為學生進一步探索異分母分數(shù)加、減做好了準備。
2.在數(shù)形結合中理解算理。數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。本課所學知識對小學生來說是比較難掌握的，異分母分數(shù)具有不同的分數(shù)單位，這是學生在學習新知時首先遇到的挑戰(zhàn)。如何讓學生理解異分母分數(shù)加、減的算理?兩位老師都注重讓學生在數(shù)形結合中理解算理。吳老師在新知教學時，首先讓學生自主嘗試，或動手折紙、畫圖，或抽象演算，接著組織反饋交流，讓學生初步明確算理，即都是把異分母的分數(shù)轉化成同分母的分數(shù)，實質上就是統(tǒng)一了計數(shù)單位，使相同單位上的數(shù)相加，然后在練習中通過給圖形涂色、七巧板問題、特殊分數(shù)加法圖示等環(huán)節(jié)，讓學生深入理解異分母分數(shù)加、減法的算理。而馮老師在設計新知教學時，預設了三種方案：方格紙涂色計算、化成小數(shù)計算、通分計算，然后讓學生觀察比較，找出三種計算的共同要素--相同計數(shù)單位上的數(shù)相加、減。從兩位教師的新知教學和鞏固練習中都可以發(fā)現(xiàn)，為幫助學生理解異分母分數(shù)加、減法的算理，依據(jù)小學生形象思維為主的規(guī)律，呈現(xiàn)對應的圖形，以圖形來表達分數(shù)，以圖形來進行運算，以圖形來解釋算理，從而使學生在直觀形象中理解算理，發(fā)展思維。
3.做好算理到算法的過渡。算理是指四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學概念、性質、定律等內(nèi)容構成的數(shù)學基礎理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導，算法使得算理具體化。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎和可能。怎樣幫助學生從算理過渡到算法呢?吳老師在教學新課時，先讓學生探索討論得出了異分母分數(shù)加法的算理，然后讓學生運用剛剛獲得的算理遷移到異分母分數(shù)減法，并讓學生用減法驗算加法；在鞏固練習中則讓學生計算、比較、判斷，使得學生運用算理指導算法，在算法應用中深化理解算理。馮老師在學生初步理解了異分母分數(shù)加法的算理之后，讓學生繼續(xù)在解決實際問題，自主探索異分母分數(shù)減法的算理，再通過欣賞、改錯、估計、拓展等豐富的練習，幫助學生從算理過渡到算法�？梢�，在學生初步理解算理之后，不要立即進行抽象的算法演練，而是讓學生繼續(xù)通過操作和看圖，直觀地進行計算，在計算中加深對算理的理解，再逐步脫離形象，形成抽象的算法，并在進一步的鞏固和應用中提高算法技能。
4.注重培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)。本課屬于"數(shù)與運算"領域的計算技能學習課。技能是運用知識和經(jīng)驗去完成某一活動的方式，從廣義知識分類來看，技能屬于程序性知識。程序性知識的習得，主要是通過獲得一系列規(guī)則而形成規(guī)則系統(tǒng)，再進一步使之自動化的過程。在學生獲得異分母分數(shù)加、減法的規(guī)則并使之自動化的過程中，學生通過探索、遷移、應用、提高等學習環(huán)節(jié)，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。兩位老師在教學中，都注重讓學生自主探索異分母分數(shù)加法的計算方法，在對幾種不同方法的比較中讓學生獲得最一般的規(guī)則--先通分，再計算。而通過通分之后計算，把異分母分數(shù)加、減法轉化為同分母分數(shù)計算，體現(xiàn)通分概念的應用價值，培養(yǎng)學生的轉化思想。吳老師在練習設計中還通過計算七巧板面積、特殊分數(shù)加法，培養(yǎng)學生的估算意識，發(fā)展學生的數(shù)感。馮老師在教學中適時介紹古埃及的分數(shù)運算和歐洲的分數(shù)運算以及我國古代《九章算術》中的分數(shù)運算史料，滲透數(shù)學的文化性，豐富學生的數(shù)學素養(yǎng)。
總之，兩位老師的教學設計，都從學生的學習需要出發(fā)，精心設計教學過程，有效地尋求算理與算法之間的平衡。當然，兩位老師在教學設計中還可以更深入理解教材的編寫意圖，更密切關注學生的學習需要，以期取得更佳的教學效果。如，兩位老師在溝通新舊知時，還可以更關注學生的認知基礎與今天所學新知的關聯(lián)，關注知識遷移的三個要素："可利用性""清晰性"和"穩(wěn)定性"，這是影響本課學習的重要基礎，應充分關注；在學生探索異分母分數(shù)加減法時，還可以更多地借助圖形直觀，幫助學生深刻理解算理，這是決定本課學習效果的關鍵因素，要加強指導；對于鞏固練習與解決問題，還可以再作精細的針對性和層次性考慮。
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