在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法

在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法

南京東方數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所侯正海

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在"知識與技能"的目標(biāo)中明確要求學(xué)生"掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能"。計(jì)算技能作為一種數(shù)學(xué)心智技能，其掌握并不是自然的，需要通過有效的學(xué)習(xí)才能獲得。但計(jì)算教學(xué)又不應(yīng)僅僅著眼于技能的形成，而應(yīng)探討并努力實(shí)踐如何將"基本技能"變成發(fā)展學(xué)生各種"過程能力"(如探究、推理、交流等)的基礎(chǔ)。因此，我們必須重視學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法的過程。相關(guān)的研究表明，算法是自動(dòng)化的，即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用。這就十分清楚地揭示了曾經(jīng)的計(jì)算教學(xué)中，我們并不十分重視學(xué)生對算理的理解，而學(xué)生仍然可以經(jīng)過反復(fù)操練掌握和使用算法的原因。對這一問題的認(rèn)識提供給我們的啟示是：學(xué)生需要掌握算法，但更需要經(jīng)歷構(gòu)建算法的過程，實(shí)現(xiàn)算理和算法的內(nèi)在統(tǒng)一。

算理是計(jì)算的理論依據(jù)，其內(nèi)涵包括數(shù)和運(yùn)算的意義，運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)，解決的是為什么這樣算的問題。算法是計(jì)算的方法，其內(nèi)涵是由已知推出未知的程序，解決的是怎樣算的問題。算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的計(jì)算程序。算理為計(jì)算提供了正確可靠的思維過程，而算法則為計(jì)算提供了方便快捷的操作方法，是計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，在計(jì)算過程中，算理和算法是內(nèi)在地聯(lián)系在一起的。

在小學(xué)階段，學(xué)生對于算理和算法的學(xué)習(xí)，主要體現(xiàn)在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的口算和筆算中。口算由運(yùn)算的意義便可以直接得到原始的算法。如，3×4表示的意義是3個(gè)4或4個(gè)3相加，因此其結(jié)果就可以通過加法算出來。筆算的算理和口算基本一致，但算法往往需要經(jīng)歷由"原始"到簡潔的規(guī)范過程，并且稍復(fù)雜的筆算的算理與算法都是在簡單筆算基礎(chǔ)上的延伸與發(fā)展。小數(shù)四則計(jì)算與整數(shù)聯(lián)系緊密，其中加減法的算理和算法可以由整數(shù)類推得到，而乘除法則需要利用運(yùn)算的規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法。分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法可以由整小數(shù)加減法類推；分?jǐn)?shù)乘除法的算理即是分?jǐn)?shù)乘除法的意義，但其算法的構(gòu)建卻不能直接由整小數(shù)的算法遷移而來，因此更具創(chuàng)造性，而且分?jǐn)?shù)除法的算法是需要轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法的。江蘇教育版小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教材著眼于數(shù)學(xué)知識本身的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生理解算理、構(gòu)建算法的活動(dòng)線索，有意識地突出了"過程能力"的培養(yǎng)。

一、觀察情境圖，理解算理，構(gòu)建基礎(chǔ)性的算法

小學(xué)階段學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。因此，在計(jì)算教學(xué)中要十分重視引導(dǎo)學(xué)生觀察情境圖中具體的學(xué)習(xí)對象，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的信息，為理解算理、構(gòu)建算法提供直觀的幫助。

20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法是學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算算理和算法的開始。教材注意結(jié)合直觀的情景圖引導(dǎo)學(xué)生理解算理，構(gòu)建基礎(chǔ)性的算法。以"9加幾"的教學(xué)為例，教材結(jié)合解決簡單的實(shí)際問題呈現(xiàn)了如下情境：

情境中的主體部分是盒子里放著9個(gè)桃，盒子外面放著4個(gè)桃。學(xué)生在觀察情境圖的基礎(chǔ)上可以收集有價(jià)值的信息，并列出算式9+4。之所以把9個(gè)桃和4個(gè)桃清晰地呈現(xiàn)出來，是為了啟發(fā)學(xué)生想到要求9+4得多少，可以采用數(shù)一數(shù)的方法。既可以從盒子里的第一個(gè)桃開始數(shù)起，把13個(gè)桃全部數(shù)完，這一數(shù)法對應(yīng)了加法的基數(shù)意義，也可以從9開始，依次數(shù)完盒子外面的4個(gè)桃，數(shù)到13，這一數(shù)法對應(yīng)了加法的序數(shù)意義。數(shù)一數(shù)的方法實(shí)質(zhì)上與加法的意義是密切聯(lián)系在一起的，而加法的意義正揭示了9+4的算理。

基礎(chǔ)性的算法一般可以看作"通法"，但有些情況下卻需要對這樣的算法進(jìn)行必要的改造和提升。就拿9加幾來說，雖然每道題都可以用數(shù)一數(shù)的方法算出答案，但顯然這一算法速度比較慢，因此，需要對這一算法進(jìn)行優(yōu)化。教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察情境圖中的盒子一共有10格，放滿的話正好有10個(gè)桃，從而想到可以從4個(gè)桃中拿1個(gè)放入盒子中，把9個(gè)桃湊成10個(gè)，再加上外面的3個(gè)桃，一共有13個(gè)桃。這里，情境圖中的盒子又是一個(gè)非常有效的原型，啟發(fā)學(xué)生想到更簡捷、更具一般意義的"湊十法"。因?yàn)?湊十法"體現(xiàn)了"滿十進(jìn)一"的計(jì)數(shù)規(guī)則，所以它又成為后繼相關(guān)計(jì)算中的重要策略。從這一計(jì)算內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也能初步感受到算法是多樣的、靈活的。

二、激活已有知識，理解算理，構(gòu)建一般性的算法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、螺旋上升的。先前的學(xué)習(xí)是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教師在教學(xué)新的計(jì)算內(nèi)容時(shí)，應(yīng)注意激活學(xué)生已有的知識，并靈活運(yùn)用這些知識幫助理解算理，實(shí)現(xiàn)對算法的構(gòu)建。

在口算學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步學(xué)習(xí)簡單筆算的算理與算法。而簡單筆算的算法往往需要經(jīng)歷由"原始"走向簡潔的規(guī)范過程，在已有知識的基礎(chǔ)上構(gòu)建一般性的算法。教學(xué)兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算，教材呈現(xiàn)了如下解決簡單實(shí)際問題的情境：

要求2只猴一共采了多少個(gè)桃，算式是14×2。情境圖中直觀地呈現(xiàn)了每只猴采的桃10個(gè)放在一筐，4個(gè)放在另一筐。這樣的呈現(xiàn)方式能夠啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識理解算理。學(xué)生在觀察情境圖后容易想到，要求14×2得多少，可以用14+14，也可以先算2個(gè)10是20，2個(gè)4是8，再把20和8合起來。這兩種算法本質(zhì)上是相同的，而后面的思考過程更具體地揭示了14×2的算理。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生聯(lián)系豎式的寫法和已有的計(jì)算過程，容易得到并理解以下"原始"的算法(如左下圖)：

方框里的兩個(gè)箭頭顯示了計(jì)算14×2的兩個(gè)步驟，用2依次去乘14個(gè)位上的4和十位上的1；省略號及紅色部分的算式則具體地解釋每一步的結(jié)果是如何算得的。特別是2乘十位上的1所得的結(jié)果是20，以暗紅色的0突出2寫在十位的意義。在引導(dǎo)學(xué)生明確計(jì)算的步驟和每一步所得的結(jié)果后，可以允許學(xué)生用這一"原始"的方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)，以幫助學(xué)生真正掌握兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理與算法。在此基礎(chǔ)上，再簡化成規(guī)范的豎式(如右上圖)。事實(shí)上，在這一計(jì)算內(nèi)容的教學(xué)中，算理的理解對算法的構(gòu)建起到了支撐性的作用。

三、遷移運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，理解算理，構(gòu)建發(fā)展性的算法

計(jì)算內(nèi)容之間的聯(lián)系十分緊密，一般因?yàn)閿?shù)位增加、進(jìn)位或退位等情況的出現(xiàn)而逐漸增加復(fù)雜程度。但基本的算理和算法卻可以由數(shù)位較少的計(jì)算遷移到數(shù)位較多的計(jì)算中，由不進(jìn)位、不退位等的計(jì)算遷移到需要進(jìn)位、退位等的計(jì)算中。教師應(yīng)注意把握教材計(jì)算內(nèi)容的結(jié)構(gòu)序列，找準(zhǔn)新的計(jì)算內(nèi)容的發(fā)展點(diǎn)，有效地促進(jìn)已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的遷移，構(gòu)建發(fā)展性的算法。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算是在兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。教材提供的問題情境是：訂一份牛奶(每天一瓶)，全月28元，訂一份牛奶一年要花多少元?教材先鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行估算，或?qū)⑦@一新的計(jì)算轉(zhuǎn)化成已有的計(jì)算解決問題，然后給出豎式計(jì)算的第一步，讓學(xué)生試一試如何用豎式計(jì)算。

因?yàn)閮晌粩?shù)乘一位數(shù)的計(jì)算是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，因此，大多數(shù)學(xué)生是可以完成第一步計(jì)算的。這一新知的發(fā)展點(diǎn)在于接下來該算什么，算得的積是多少，寫在哪里。而這也是教學(xué)的著力點(diǎn)。

兩位數(shù)除以一位數(shù)首位除后有余數(shù)是在首位除后沒有余數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材在學(xué)生把5筒帶2個(gè)羽毛球平均分成2份的操作之后，引導(dǎo)學(xué)生完成豎式計(jì)算：

學(xué)生按照已有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)嘗試筆算，一般會(huì)遇到的困難是商2后余下1怎么辦。教材用紅色方框提示學(xué)生要把個(gè)位的2移下來，和十位余下的1合起來繼續(xù)除。結(jié)合操作和提示，學(xué)生就容易跨越新的計(jì)算的發(fā)展點(diǎn)。

四、借助直觀操作，理解算理，構(gòu)建創(chuàng)造性的算法

直觀操作是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效手段。在計(jì)算教學(xué)中，直觀操作不僅能有效地改變教師講解、學(xué)生接受的教與學(xué)的方式，而且能將抽象的算理形象地顯現(xiàn)出來，為算法的構(gòu)建提供原型支撐，對學(xué)生理解算理、構(gòu)建創(chuàng)造性的算法具有重要的意義。

分?jǐn)?shù)乘除法的教學(xué)需要聯(lián)系乘除運(yùn)算的意義進(jìn)行算法的"再創(chuàng)造"，其算法探索的過程更具探索性和挑戰(zhàn)性。以整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)為例，教材安排了2道例題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理解算理、探索算法的過程。例2的問題情境是，幼兒園李老師把4個(gè)同樣大的橙子分給小朋友。依次讓學(xué)生解決三個(gè)問題：

學(xué)生對整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理的學(xué)習(xí)是從第(1)個(gè)問題開始的，在由問題(1)向問題(2)、(3)的過渡中，可以自然實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法的意義向整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的遷移，而這正是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理。問題(2)開始了對整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法探索。教材的設(shè)計(jì)注意以直觀的操作結(jié)果啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)4÷1/2和4×2之間的聯(lián)系。在學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與乘法之間的聯(lián)系后，教材引導(dǎo)學(xué)生在圖形中分一分，經(jīng)歷平均分的操作活動(dòng)，利用直觀的操作結(jié)果發(fā)現(xiàn)4÷1/3=4×3，4÷1/4=4×4。在此，教材又非常明確地提示學(xué)生思考"所乘的數(shù)與除數(shù)有什么關(guān)系"，進(jìn)一步明確整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法。由于這里涉及的分?jǐn)?shù)都是單位分?jǐn)?shù)，因此，教材又通過例3呈現(xiàn)除數(shù)是2/3的非分?jǐn)?shù)單位的除法，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系上面的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)仍然可以把除以2/3轉(zhuǎn)化成乘3/2來計(jì)算。至此，教材引導(dǎo)學(xué)生觀察上面幾道算式的計(jì)算過程，水到渠成地歸納整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的一般計(jì)算方法。上述內(nèi)容的安排，體現(xiàn)了算理的遷移過程，突出了如何順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算法的過程。

在引導(dǎo)學(xué)生理解算理、構(gòu)建算法的過程中，教師還應(yīng)該注意以下幾個(gè)問題：

第一，夯實(shí)數(shù)的意義和運(yùn)算意義的教學(xué)。數(shù)和運(yùn)算的意義構(gòu)成了算理的重要內(nèi)容，其中數(shù)的位值概念對算理的教學(xué)尤其重要。比如，學(xué)生都知道400×2的結(jié)果等于800，但有的學(xué)生只是從形式上看到400后面有2個(gè)0，所以8后面也要寫2個(gè)0，而數(shù)的位值概念清晰的學(xué)生則很清楚地知道400表示的是4個(gè)百，乘2后當(dāng)然得到8個(gè)百。

第二，發(fā)揮表象操作在算法構(gòu)建過程的作用。一般來說，學(xué)生的認(rèn)知需要經(jīng)歷行為表征-表象表征-符號表征這三個(gè)階段。在由直觀操作過渡到一般算法的過程中，需要重視表象操作這一中間環(huán)節(jié)。所謂表象操作，就是在具體實(shí)物操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)物操作的方法和過程，在頭腦中進(jìn)行類似的操作。這樣可以幫助學(xué)生擺脫具體實(shí)物的束縛，更好地構(gòu)建比較抽象的算法。如果跳過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生的算法構(gòu)建容易與直觀操作相脫節(jié)。同時(shí)，在算法構(gòu)建的過程中，一方面要以表象操作的經(jīng)驗(yàn)推進(jìn)算法的建構(gòu)；另一方面，也要重視由抽象的算法向表象操作的"反攻"，以幫助學(xué)生真正在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法。

第三，逐步實(shí)現(xiàn)算法的結(jié)構(gòu)化。重視某一類型知識的結(jié)構(gòu)能夠使我們把握其中的關(guān)鍵原理，便于記憶和有效地遷移，而且能夠縮短知識層次間的距離。在教學(xué)時(shí)，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生通過交流，把握具體算理和算法的本質(zhì)內(nèi)容。教師應(yīng)具備對學(xué)生語言表達(dá)"模糊性"的承受力，并允許學(xué)生一開始結(jié)合實(shí)例進(jìn)行描述，在把握要點(diǎn)的基礎(chǔ)上逐步實(shí)現(xiàn)表達(dá)的準(zhǔn)確、簡練。在某一類型的計(jì)算教學(xué)完成之后，教師還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的計(jì)算進(jìn)行整理，提取關(guān)鍵原理，溝通聯(lián)系，以幫助學(xué)生完善相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)

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