數(shù)學手抄報文字資料(2)

　　旋轉(zhuǎn)曲面主條目：數(shù)學基礎

　　為了弄清楚數(shù)學基礎，數(shù)學邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。德國數(shù)學家康托爾(1845-1918)首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數(shù)學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內(nèi)容也是相當豐富的，提出了實無窮的思想，為以后的數(shù)學發(fā)展作出了不可估量的貢獻。

　　集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數(shù)學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數(shù)理科學中必不可少的工具。20世紀初，數(shù)學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學家的樂園”和“數(shù)學思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。

　　邏輯

　　主條目：數(shù)理邏輯

　　數(shù)學邏輯專注在將數(shù)學置于一堅固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果。現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關(guān)聯(lián)性。

　　符號

　　主條目：數(shù)學符號

　　也許我國古代的算籌是世界上最早使用的符號之一，起源于商代的占卜。

　　我們現(xiàn)今所使用的大部分數(shù)學符號都是到了16世紀后才被發(fā)明出來的。在此之前，數(shù)學是用文字書寫出來，這是個會限制住數(shù)學發(fā)展的刻苦程序。現(xiàn)今的符號使得數(shù)學對于人們而言更便于操作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現(xiàn)今的數(shù)學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。

　　嚴謹性

　　數(shù)學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思，亦困惱著初學者，如開放和域等字在數(shù)學里有著特別的意思。數(shù)學術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。

　　周髀算經(jīng)嚴謹是數(shù)學證明中很重要且基本的一部分。數(shù)學家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯誤的“定理”或"證明"，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所作的定義，到了十九世紀才讓數(shù)學家用嚴謹?shù)姆治黾罢�式的證明妥善處理。今日，數(shù)學家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計算難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。

　　數(shù)量

　　數(shù)量的學習起于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的有理和無理數(shù)。

　　另一個研究的領(lǐng)域為其大小，這個導致了基數(shù)和之后對無限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

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