證明極限不存在

二元函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容,因?yàn)槠涠�義與一元函數(shù)極限的定義有所不同,需要定義域上的點(diǎn)趨于定點(diǎn)時(shí)必須以任意方式趨近,所以與之對(duì)應(yīng)的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù),使之變?yōu)橐辉�函�?shù)求極限.若最后的極限值與參數(shù)有關(guān),則說(shuō)明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時(shí),除了選y=kx這種趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見(jiàn)的有理分式函數(shù)極限不存在的一種簡(jiǎn)單方法.例1[1]證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對(duì)于(1)選擇當(dāng)(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時(shí),有l(wèi)im(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對(duì)于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實(shí)際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l(wèi)..

2

是因?yàn)槎�義域D={(x,y)|x不等于y}嗎，從哪兒入手呢，請(qǐng)高手指點(diǎn)

沿著兩條直線 y=2x

y=-2x 趨于(0,0)時(shí)

極限分別為 -3 和 -1/3 不相等

極限存在的定義要求 延任何過(guò)(0,0)直線求極限時(shí) 極限都相等

所以極限不存在

3

lim (x 和y)趨向于無(wú)窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

證明該極限不存在

lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)

=1-lim8 / [(x/y)^2+3]

因?yàn)椴恢�道x、y的大校

所以lim (x 和y)趨向于無(wú)窮大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

極限不存在

4

如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!

反證法

若存在實(shí)數(shù)L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0點(diǎn)的任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，

①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同時(shí)成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時(shí)成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的實(shí)數(shù)L不存在。

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