如何證明余弦定理

如何證明余弦定理

三角形的正弦定理證明：

步驟1.

在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

2

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因為cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2

談正、余弦定理的多種證法

聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。

因為AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因為jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

過A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、 有

即 .

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如圖5，

,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

，

即

將(1)式改寫為

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學通報2003年第11期.

【2】《中學生數(shù)學》(上)2000年3月上

【3】《數(shù)學(必修5)》人民教育出版社

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