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用向量法證明
用向量法證明步驟1
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟3.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的.外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!
2
設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形
則向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c
平方 (1)
向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d
平方 (2)
(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
3
已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理
過(guò)A做AG‖DC交EF于P點(diǎn)
由三角形中位線定理有：
向量EP=向量BG
又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))
∴向量PF=(向量AD+向量GC)
∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得證
4
先假設(shè)兩條中線AD,BE交與P點(diǎn)
連接CP,取AB中點(diǎn)F連接PF
PA+PC=2PE=BP
PB+PC=2PD=AP
PA+PB=2PF
三式相加
2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF
3PA+3PB+2PC=2PF
6PF+2PC=2PF
PC=-2PF
所以PC,PF共線，PF就是中線
所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)P
連接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=OP+PD
OE=OP+PE
OF=OP+PF
OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP
由第一問(wèn)結(jié)論
2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP
2PA+2PB+2PC=0
1/2AP+1/2BP+1/2CP
所以O(shè)A+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP
向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
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