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余弦定理的證明方法
在日常的學習、工作、生活中，大家總少不了要接觸或使用證明吧，證明是由機關、學校、團體等發(fā)的證明自己身份、經歷或某事真實性的一種憑證。擬起證明來就毫無頭緒？以下是小編收集整理的余弦定理的證明方法，僅供參考，大家一起來看看吧。
余弦定理的證明方法
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因為cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
在任意△ABC中, 作AD⊥BC.
∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a -->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC=AD+DC
b=(sinB*c)+(a-cosB*c)
b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB
b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a
b=c+a-2ac*cosB
所以，cosB=(c+a-b)/2ac
2
如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數的定義得B點坐標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根據三角函數的定義知D點坐標是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D點坐標是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:
mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]
mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
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