初一幾何證明題

初一幾何證明題

一、

1)D是三角形ABC的BC邊上的點 且CD=AB，角ADB=角BAD，AE是三角形ABD的中線，求證AC=2AE。

(2)在直角三角形ABC中，角C=90度，BD是角B的平分線，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，過O作FG平行AB，交BC于F，交AC于G。求證CD=GA。

延長AE至F，使AE=EF。BE=ED，對頂角。證明ABE全等于DEF。=》AB=DF，角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。角ADE=BAD+B=ADB+EDF。AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。

題干中可能有筆誤地方：第一題右邊的E點應(yīng)為C點，第二題求證的CD不可能等于GA，是否是求證CD=FA或CD=CO。如上猜測準(zhǔn)確，證法如下：第一題證明:設(shè)F是AB邊上中點，連接EF角ADB=角BAD，則三角形ABD為等腰三角形，AB=BD;∵ AE是三角形ABD的中線，F(xiàn)是AB邊上中點�！� EF為三角形ABD對應(yīng)DA邊的中位線，EF∥DA，則∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA�！� ∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴ △AFE∽△CDA∴ AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得證第二題：證明:過D點作DH⊥AB交AB于H，連接OH，則∠DHB=90°;∵ ∠ACB=90°=∠DHB，且BD是角B的平分線，則∠DBC=∠DBH，直角△DBC與直角△DBH有公共邊DB;∴ △DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵ DH⊥AB，CE⊥AB;∴ DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO為等腰三角形，CD=CO=DH;四邊形CDHO中CO與DH兩邊平行且相等，則四邊形CDHO為平行四邊形，HO∥CD且HO=CD∵ GF∥AB，四邊形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，則四邊形AHOF為平行四邊形，HO=FA∴ CD=FA得證

有很多題

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線，D是EF中點，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z

證明;過E點分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點.

過F點分別作AC,BC上的高交于P,Q點.

根據(jù)角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

過D點做BC上的高交BC于O點.

過D點作AB上的高交AB于H點,過D點作AB上的高交AC于J點.

則X=DO,Y=HY,Z=DJ.

因為D 是中點,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可證FP=2DJ。

又因為FQ=FP,EM=EN.

FQ=2DJ，EN=2HD。

又因為角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點，所以2DO=FQ+EN

又因為

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因為X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，請問結(jié)論BM=CN是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由。

當(dāng)∠BON=108°時。BM=CN還成立

證明;如圖5連結(jié)BD、CE.

在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線交AC與N，則角NBC=( )

3°

因為AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因為AB的垂直平分線交AC于N，設(shè)交AB于點D，一個角相等，兩個邊相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ

延長CB到M，使BM=DQ，連接MA

∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQ AP為公共邊

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點P,求證DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵M(jìn)B=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°

∴DP⊥NP。

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