綜合法證明不等式

若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號ab

令T=根號ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根號ab>=3，

故，ab>=9 (當且僅當a=b=3是取等號)

已知a，b，c為正實數(shù)，用綜合法證明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

證明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的兩邊相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.證完

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

2.設x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴l(xiāng)g(a^2+1)

2.設x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化為

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值范圍是(-∞，4]。

綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式來進行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項得 .綜合法的證明過程表現(xiàn)為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“ ”來代替.

綜合法的證明過程是下一節(jié)課學習的不等式的證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程。 實際上在前面兩個重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當中，我們已經(jīng)運用了綜合法，但當時只是沒有提出或采用這個名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當中，故例題只有一個，是運用平方不等式來作為基礎工具。

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