精心設(shè)計教學環(huán)節(jié)，細化概念教學過程
作者：董榮森謝建金
中學數(shù)學：高中版 2015年05期
簡單隨機抽樣是高中數(shù)學統(tǒng)計內(nèi)容的起始課.本節(jié)課設(shè)計了溫故知新、創(chuàng)設(shè)問題情境、學生活動、數(shù)學構(gòu)建、數(shù)學應(yīng)用等教學環(huán)節(jié)，讓學生在這些環(huán)節(jié)中通過活動體驗、理解“抽樣”的必要性，以及如何科學地進行抽樣，逐步歸納總結(jié)出抽簽法、隨機數(shù)表法等概念的形成過程，并利用關(guān)鍵詞和流程圖對抽樣方法的步驟加以提煉.
一、設(shè)計理念與目標指向
“簡單隨機抽樣”為普通高中課程標準試驗教科書（蘇教版）必修3第二章“統(tǒng)計”2.1抽樣方法（第1課時）.數(shù)學課程標準強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，初步學會用數(shù)學的思維方式去觀察、分析.概念教學一般可遵循“從實際中來—抽象數(shù)學模型—到實際中去”.在“簡單隨機抽樣”這節(jié)課的教學設(shè)計中，筆者從日常生活中的實際問題情境入手，通過細化教學環(huán)節(jié)，讓學生親身經(jīng)歷把實際問題抽象成數(shù)學模型，再回到實際問題中解釋與應(yīng)用.
數(shù)學課程標準在刻畫教學目標的動詞中，不僅使用了“了解”“理解”“掌握和靈活運用”等詞，而且還使用了“經(jīng)歷（感受）”“體驗（體會）”“探索”等動詞.因此，教師在概念教學中應(yīng)重視知識的形成過程.為此，筆者在設(shè)計中通過對每一個概念的形成過程進行細化，讓學生在實踐活動中體驗這些知識（抽樣方法）的由來，對每次學生活動都引導學生進行歸納總結(jié)、提煉，理解這些抽樣方法在實踐中的價值.
本節(jié)課的教學目標是讓學生正確理解隨機抽樣的概念，掌握用抽簽法、隨機數(shù)表法進行抽樣的一般步驟，引導學生在解決統(tǒng)計問題的過程中，學會用抽簽法和隨機數(shù)表法（統(tǒng)稱為“簡單隨機抽樣”）從總體中抽取樣本.通過活動讓學生感受學習抽樣統(tǒng)計的重要性和必要性.
二、內(nèi)容解讀與教學定位
數(shù)據(jù)能夠幫助人們認識世界、作出科學的決策，而統(tǒng)計學正是與數(shù)據(jù)打交道的科學，用一句話來概括統(tǒng)計學：就是用以“收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、由數(shù)據(jù)得出結(jié)論”的概念、法則和方法.由此可以看出：學習統(tǒng)計學有助于學生適應(yīng)現(xiàn)代社會的需要，有助于培養(yǎng)學生形成數(shù)據(jù)意識以及運用數(shù)據(jù)進行推斷的思考方式，有助于學生形成以數(shù)學的眼光看世界的習慣，增強學生運用數(shù)學分析問題、解決問題的能力.
在學習運用樣本估計總體的過程中，通過對具體數(shù)據(jù)的分析，讓學生體會到由于樣本數(shù)據(jù)具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關(guān)特征，但與總體有一定的偏差.但是如果抽樣的方法比較合理，樣本信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據(jù).由此讓學生認識統(tǒng)計思維的特點和作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.
三、教學環(huán)節(jié)設(shè)計及其意圖
（一）溫故知新
【說說看】下列調(diào)查宜采用普查方式還是抽樣調(diào)查方式？
（1）一鍋水餃的味道；（抽查）
（2）旅客上飛機前的安全檢查；（普查）
（3）一批炮彈的殺傷半徑；（抽查）
（4）一批彩電的質(zhì)量情況；（抽查）
（5）在“H7N9禽流感”期間，學校向上級主管部門匯報每天的病情.（普查）
設(shè)計意圖：通過復習初中乃至小學所學過的統(tǒng)計知識，回顧抽查與普查的區(qū)別，引導學生理解為什么有些調(diào)查需要普查，有些調(diào)查通過抽查就可以，并由此導入新課.
（二）問題情境
【情境1】假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生監(jiān)督人員，要對某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗，你準備怎樣做？
【情境2】學校的投影儀燈泡的平均使用壽命是3000小時，“3000小時”這樣一個數(shù)據(jù)是如何得出的`呢？
（三）學生活動
對于情境1，由于餅干的數(shù)量較大，不可能一一檢測，只要從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本即可.
對于情境2，因為考察燈泡的使用壽命帶有破壞性，所以只能從一批燈泡中抽取一部分（例如抽取10個）進行測試，然后用得到的這一部分燈泡的使用壽命的數(shù)據(jù)去估計這一批燈泡的壽命.
設(shè)計意圖：通過情境1、2的設(shè)置，加深學生理解統(tǒng)計的基本思想方法是用樣本估計總體，理解“抽樣”的必要性.當總體容量很大時，收集全部數(shù)據(jù)比較困難或檢測過程具有一定的破壞性.
（四）構(gòu)建數(shù)學
【情境3】在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測驗，調(diào)查蘭頓和羅斯福誰將當選下一屆總統(tǒng).為了了解公眾意向，調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表（在1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有），通過分析收回的調(diào)查表，顯示蘭頓非常受歡迎.于是此雜志預(yù)測蘭頓將在選舉中獲勝.實際選舉結(jié)果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝.其數(shù)據(jù)如下表：
【問題1】如何科學地進行抽樣呢？
【歸納總結(jié)1】要使得樣本能比較準確地反映總體，抽樣時必須堅持科學的抽樣標準：“每一個個體被抽到的機會相同”.
設(shè)計意圖：有時抽出的樣本能夠正確反映總體情況，但有時不能全面、客觀、公正，甚至是錯誤地反映總體情況，通過情境3的設(shè)計，讓學生認識到如何科學合理地進行抽樣，讓學生去說“調(diào)查中只抽富人沒有抽窮人”，教師進行提煉歸納出“每一個個體被抽到的機會相同”.順其自然地過渡到簡單隨機抽樣概念的得出.
1.簡單隨機抽樣的概念
一般地，從個體數(shù)為N的總體中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n＜N），如果每個個體都有相同的機會被取到，那么這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣.
說明：讓學生通過概念中的字面意思去理解，強調(diào)四點：容量有限；逐個抽�。徊环呕爻闃�；機會相同.
2.常見的簡單隨機抽樣
（1）抽簽法
【問題2】為了解某校高一（1）班50名學生的視力狀況，從中抽取10名學生進行檢查，你打算如何實施？
點撥：全查沒有配戴眼鏡的學生行嗎？全查女同學行嗎？全查男同學行嗎？……
【歸納總結(jié)2】一般地，用抽簽法從個體總數(shù)為N的總體中抽取一個容量為k的樣本的步驟：
①將總體中的N個個體編號；（編號）
②將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（制簽）
③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（攪勻）
④從箱中每次抽取1個號簽，連續(xù)抽取k次；（抽簽）
⑤將總體中與抽到的號簽編號一致的k個個體取出.（取樣）
設(shè)計意圖：通過問題2的設(shè)計，讓學生大膽地說出自己的想法與打算，教師啟發(fā)從而歸納出從容量為N的總體中抽取一個容量為k的樣本的一般步驟，并引導學生對此進行提煉：編號、制簽、攪勻、抽簽、取樣，并將其用流程圖（如圖1）加以表征.由此將思維的空間留給了學生，將教學創(chuàng)造的空間讓給了教師.
【隨堂檢測】
下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣嗎？為什么？
①從無限多個個體中抽取100個個體作樣本；（不是）
②箱子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質(zhì)量檢驗后，再把它放回箱子.（不是）
③從8臺電腦中不放回地隨機抽取2臺進行質(zhì)量檢驗（假設(shè)8臺電腦已編好號，對編號隨機抽�。�.（是）
設(shè)計意圖：通過三個問題的判斷，讓學生加深對簡單隨機抽樣定義的認識，起到鞏固和反饋的作用.
（2）隨機數(shù)表法
【問題3】要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，若用抽簽法，你感覺怎么樣？
設(shè)計意圖：讓學生感受到當總體容量比較大時，編號、制簽都比較麻煩，那么有沒有簡化制簽的方法呢？由此自然順利地過渡到隨機數(shù)表法，起到承上啟下的作用.
閱讀教材第44～45頁，思考下列問題：
①隨機數(shù)表的定義？
②隨機數(shù)的產(chǎn)生方法主要有哪些？
③運用隨機數(shù)表法抽取樣本的一般步驟？
◆隨機數(shù)表：制作一個表（由數(shù)字0、1、2、…、9組成），表中各個位置上的數(shù)都是隨機產(chǎn)生的（隨機數(shù)），即每個數(shù)字在表中各個位置上出現(xiàn)的機會都是一樣的.
◆隨機數(shù)產(chǎn)生：①抽簽法；②拋擲骰子法；③計算機生成法.
◆隨機數(shù)表法：用隨機數(shù)表進行抽樣的方法.
設(shè)計意圖：讓學生帶著問題去閱讀教材和自主學習隨機數(shù)表法，目的是培養(yǎng)學生的自學能力、閱讀能力.
對于問題3，若用隨機數(shù)表法抽取，如何來具體實施呢？
第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000、001、…、799.
第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7.（為了便于說明，下面選取了教材第124頁附錄1：隨機數(shù)表的第6行至第10行）
第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀（讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一個三位數(shù)785，由于785＜799，說明號碼785在總體內(nèi)，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916，由于916＞799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，…，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本.
【歸納總結(jié)3】用隨機數(shù)表法抽取樣本的步驟：
①將總體中的個體編號（每個號碼位數(shù)一致）；（編號）
②在隨機數(shù)表內(nèi)任選一個數(shù)作為開始；（定位）
③從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼在編號中，則取出，若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（取數(shù)）
④根據(jù)選定的號碼抽取樣本.（取樣）
設(shè)計意圖：加深對隨機數(shù)表的理解，啟發(fā)學生如何正確的編號、如何用隨機數(shù)表進行取數(shù)，把握編號的科學性和取數(shù)的隨機性；引導學生對用隨機數(shù)表法抽取樣本的步驟進行歸納與提煉：編號、定位、取數(shù)、取樣，并將其用流程圖（如圖2）加以表征.
（五）數(shù)學運用
某學校高一年級共100名學生，為了了解這些學生的身高狀況，從中抽取一個容量為10的樣本.試分別給出用抽簽法和隨機數(shù)表法進行抽樣的操作步驟.
解法1：（抽簽法）將100名學生編號為1、2、…、100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個數(shù)，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個號簽，然后抽取這10個號簽對應(yīng)的學生.
解法2：（隨機數(shù)表法）將100名學生編號為00、01、…、99，在隨機數(shù)表中選定一個起始位置，如從第21行第1個數(shù)開始，選取10個為68、34、30、13、70、55、74、77、40、44，這10名學生即為所要抽取的樣本.
設(shè)計意圖：通過本例題的設(shè)計，一是加深學生對用抽簽法與隨機數(shù)表法抽取的步驟的理解；二是總結(jié)歸納兩種方法的優(yōu)缺點：抽簽法有簡單易行的優(yōu)點，適用于總體個數(shù)不多的情形；隨機數(shù)表法和抽簽法相比，利用隨機數(shù)表簡化了制簽的過程；抽簽法和隨機數(shù)表法都是簡單隨機抽樣，都是等可能抽樣，從而保證了抽樣的公平性.
（六）課堂小結(jié)
◆學了什么？
一個定義：簡單隨機抽樣.
二種方法：（1）抽簽法；（2）隨機數(shù)表法.
三大特性：（1）代表性；（2）等可能性；（3）隨機性.
◆為什么學？
（1）總體容量大，收集全部數(shù)據(jù)很困難；
（2）檢驗時帶有“破壞性”；
（3）科學預(yù)測與決策、文明社會發(fā)展……
◆怎么學？
自主學習、合作學習、體驗學習等.
◆學的怎么樣？
（由學生回答）
設(shè)計意圖：課堂小結(jié)的方式有很多類型，如流程圖型、知識點梳理型、概括式等.筆者通過漸進式小結(jié)，即學了什么（本節(jié)課所學的知識），為什么學（解決學習的目的），怎么學（掌握學習的方法，自主、合作、探究學習等），學的怎么樣（評價問題，最好的評價是學生自評）.
四、思考與感悟
數(shù)學概念教學是中學數(shù)學教學的重要組成部分.教師一定要根據(jù)學生的認知規(guī)律，注重概念的形成過程，保證數(shù)學概念教學的質(zhì)量，提高學生的學習能力.
1.精心設(shè)計教學環(huán)節(jié)，讓學生在活動中獲得能力
本節(jié)課開始筆者設(shè)計了幾道有關(guān)普查與抽查的小題，通過創(chuàng)設(shè)三個不同思維層次的情境逐漸深入，讓學生意識到當總體容量較大或檢驗過程帶有破壞性時，只要從中抽取一定數(shù)量的個體作為檢驗的樣本；當每個個體被抽到的機會相同時，這樣的簡單隨機抽樣才是科學、合理的抽樣；當抽簽法和隨機數(shù)表法的一般步驟由學生進行總結(jié)提煉時，才能夠發(fā)現(xiàn)學生的潛能是如此的巨大；當學生能夠向老師提出問題時，學生才獲得真正的能力.如：用隨機數(shù)表法第一步是編號：00、01、02、…，有學生問為什么要這樣編號，而不是1、2、3、…？其實這樣編號的目的就是公平、合理的體現(xiàn)，同時也是數(shù)學中數(shù)字美的展現(xiàn).
2.細化概念教學過程，揭示數(shù)學概念本質(zhì)
筆者在教學環(huán)節(jié)設(shè)計過程中，做到預(yù)設(shè)與生成、細膩與重點突出，每一部分內(nèi)容學習過后，對思想方法和知識點進行梳理歸納提煉.知識點之間過渡與銜接中，筆者也花了很大的工夫，如從抽簽法如何過渡到隨機數(shù)表法，筆者創(chuàng)設(shè)問題3情境，當總體的容量很大時，讓學生感受到編號、制簽都比較麻煩，提出有沒有簡化制簽的方法，順其自然引出隨機數(shù)表法.
總之，數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式.它是思維的細胞，是構(gòu)成數(shù)學知識大廈的基石，是進行邏輯思維的第一要素，是數(shù)學思想和方法的載體，也是解決數(shù)學問題的前提.因此，在數(shù)學教學中，要重視概念教學，通過精心設(shè)計教學環(huán)節(jié)，細化概念教學過程，引導學生親身、主動地經(jīng)歷概念的形成過程，從而讓學生真正掌握數(shù)學概念.
作者介紹：董榮森，謝建金，江蘇省懷仁中學.
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