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流體力學(xué)三大方程的推導(dǎo)
微分形式連續(xù)的性程方
續(xù)連程方是體流力學(xué)基的本程之方， 流體一動運(yùn)的續(xù)連方，程反流體運(yùn)動和映流體質(zhì) 量分的關(guān)系，它是在質(zhì)布守恒量律在定流 力體學(xué)的中應(yīng)用
重。點(diǎn)討不論表同現(xiàn)式形流的體連續(xù)方程。
用一個微六
面體控制體建元微分形式立的續(xù)連性程。方 設(shè)在流場中一固取不動的微平定六行面體（制體控，在直）角標(biāo)坐系o xzy中， 六面的邊體長取為x d，dy，dz。
看先x 軸方 向的流動流體，A從BC面 D入流面六，從E體FG面流出。H
在x 軸方向出流與入流質(zhì)之差量
?( ?x u )? (ux?) [ ?u x? xd]ydzdd ? t u? dyxddzt? dx yddzd ?xt?
x
用樣同的方法可得在，y方軸和向z方軸向流的出流入與質(zhì) 量之分別為差
(? u?y ?)y
dx
ydzdd
t?( ?u
z) ddydzdtx z
這?，在樣d t時間內(nèi)通過面六體全的六個面凈流出的部質(zhì)量為
：? ?(ux) ? (u y? )(?? zu )[ ? ? ]dxdydzd t ?x?x ?x
在d t的時內(nèi)間六面，內(nèi)體質(zhì)的量減了 ( 少?
?? xdddydt z ，) ?
t
根質(zhì)量據(jù)守恒定律，流出六面體的凈質(zhì)量等必于六體內(nèi)面減所的質(zhì)量
少
?( u? x) ?( u? y )? (?u z) ?? ? [ ?]dxdyzdt d ?? ddyxdzd tx?? y?z ?
這t就直角坐是系標(biāo)中體運(yùn)動的流微形分的式連性方續(xù)。
?程( ? ux ?)( ? u )y? ( ?u z )?? ? ?? 0??x ? y?z ?
代t單位表時間內(nèi)，單體位積內(nèi) 量質(zhì)凈的出 代表流單時位內(nèi)間單，體積位的 量變質(zhì)
化這
是就角直坐標(biāo)中系流體運(yùn)動微的形式分的連續(xù)方性程。
在連續(xù)方中程
?
( u?x ) ? ( u?y ) ? ? u z( ?)?? ? ? ?0 ?x ? y? ?z
? ?t? ? di(v? ) ?u( ?ux ) (?? yu ) (? u? z) x ?y??z
利用
散公度： 得到式
?? ? di?(v? u ? )0 t?
用矢量場基利本算公運(yùn)和式體隨數(shù)公式導(dǎo)
：得到
? ??? d v iu u?? ? ? ?0 t
??D ? ?? div u ? 0 t
Ddiv(
u?) ? ? d vi u ? u???
? D? ? ? ?? ?u? ? t D?
討t論
?
? ，0連方續(xù)程可簡為化 ， ⑴對定常于流動 ，?t
??? d v i? ? v? ? ?t
0di
v ? ?v? 0?壓或不
壓可流體。
—微分—式
形
表明定常*動運(yùn)時單位體，內(nèi)流進(jìn)流出積質(zhì)的量等相適用�？�
于? ? D 0，連方續(xù)程可化為簡 ⑵， 對不于壓可縮體流，D t
idv ?v0
D?
?? div v? 0為因 tD
*表對明不壓可流，體體積在隨運(yùn)動中體保不持。變用適定常于 不或定常流。體
微分式形的動運(yùn)方
程
動運(yùn)程方流是體動運(yùn)最的本基運(yùn)的動原學(xué)，即理找 流體出運(yùn)動它受和到的作用之力間關(guān)系的數(shù)的學(xué)表 達(dá)式，依的理據(jù)原理是論頓牛運(yùn)動定律或動量定理，的下面 用歐拉法利式形立建微形分的運(yùn)式動程方
。
作用于體的力流
分析象：對 流體以界中面? 圍包的體為
積體的作流用力表 力
面
?
流體的塊
質(zhì)
量
力
質(zhì)量
力量質(zhì)（力力體：是指）作用所有流體于質(zhì)點(diǎn)力。的
如
重、萬有引力等力
（ 。 ）質(zhì)1力量長是力：它隨相程作互用的素之元間距的離 的增而加減，對小一般于體的特流征動距離運(yùn)言而均，能 示出顯。 來（2 ）它是一分布力，分布種于體流的塊個整積內(nèi)體流 ，塊所受的體質(zhì)力與其量圍周有其無流體他存在無關(guān)系并 通。常情下，作用況流于的質(zhì)量體通常力就指重力是
。
? 如果
F 示表單質(zhì)量位的體的質(zhì)量流，規(guī)定其力為 ：?F? ? Fli m?m ?0 ? ?m m?的 體塊流的質(zhì)上量力。 其 中? ?F 是作用質(zhì)在為 ?量 難看出，不 F以可看做的分布力密度。例
：如對于處力重用作的物體而言質(zhì)，量力的布密分度 或者說單?位質(zhì)的流體的質(zhì)量量就力是重加速力 g度 。
表面 表力力面是指流：體內(nèi)之間或者部流與其他體物體之 間的接面上所受到觸的相作互用力 。如流體部內(nèi)粘性應(yīng)的和力力壓流、與固體體觸面接 上的摩擦力等 （。1 ）面力表一是種程力短源：分子于間的相作用互。面表力 隨互作用元相之間素的離距增而迅速加弱減，有在只 相作用互素元間距離的分子與離距量同時，級面力表顯才 現(xiàn)出來 （ 。2流體）塊各內(nèi)部之間的分面表力相是作用而相互抵消 的，互有只處界面于上的流體質(zhì)所受的點(diǎn)由，界面外流體側(cè)所 施加表的面存在力。 （ 3）面力表也一是分布力種，布分在相互觸的接面上。
界
義定位單積面的上面表力：為
?
其中 ?p? 是用作某于個體面流積?上 的?表力
面? p
?p ? li m? ?0??
?質(zhì)
力量表和面的比力
較數(shù)
因而，構(gòu)成一個矢量了場
。 矢量?F 是質(zhì)量力 分布的度密它，是間和空間時點(diǎn)的
函量質(zhì)力和面表有力著質(zhì)本差別。的
? 而
矢量p 為流體的力應(yīng)，矢它不但時是和空間點(diǎn)間 函數(shù)，的并在且間每空一還點(diǎn)著隨受力面元取向不同而變的化 ? 。 所?要以定應(yīng)力矢 p 確，須考慮必點(diǎn)的矢 徑 、r該受點(diǎn)力 n? 元面的方（向或說者元的面向單法位矢） 以時間及 。t ? ? 切確地應(yīng)說力是兩矢個量（矢r n、） 一和標(biāo)個量函數(shù) t。
在運(yùn)
流動體選中取小一面六體體， 元 其z長邊別分為 ?：x ,?y ?z, 據(jù)牛頓第根定律二：
?
zd ?V? ?xy ?z =質(zhì)力量+面表 力d
x
?y
tx?
y
為
了出流導(dǎo)體的動方運(yùn)，首程來分先析體小元受力的情況。
方x質(zhì)量向力析分x方向的
量力質(zhì)
? F? mx? F x ?? x ?y? z
x 向表方力分析面周
流體圍對體小元的個表六有面面表力的作用，通而六個 側(cè)面過用作小于體沿元 x方
向的面表力別為：分
x?
?
xy??
p?zxx
? xp?xyz?
p
x
xp?x x? ? p ?? ??y?x zx 前后x側(cè)面： ?? ?x?
? xp ?x?y?z x小體所元的受方向的表x力面= 前側(cè)后面之和：? x
?
py x?? 左右側(cè)： ?面? p y x? ? y y?? ?? ?z ?x ?
p
?yx x??z
p?xz ?? z? ??x?y 下上面?zhèn)龋??p x ?z?z ? ?
p ?z?x?x
y
此因，圍流周體通六個側(cè)面過用作于小體沿元x向的 方表面力力合：為
? ?px x?p xy?p zx? ? ? ?x ?y?? ? z ??x???yz? ?
x
方 合向力析
分據(jù)牛運(yùn)動定頓：小體律元力等受于其質(zhì)量加速與度的乘：
積?
?pxx p ?x y?zp x?d u ? ??xy?? ?z xF??x ??y ? z? ?? x???y ?z? d t ?y ?z ?? ?x方程可
簡以化為
：du1 ? ? px x p y? x?zxp ? ? F?x? ? ? ? ?td? ? ? ?xy?z ?
?單位質(zhì)量體流 在 x方的向動運(yùn)程方
同理
可：得
vd1 ? p? yx? py y?p yz? ??F y?? ? ? ?dt? ? x? y ?? z??
位單量質(zhì)流體 y在 向的運(yùn)動方程方d
1w? ?pxz ?p yz ? zzp? ?? Fz ? ? ?? ?d ?t? x? ? ?zy ??
單質(zhì)位量體流 z在方 向的動方程
運(yùn)流
體運(yùn)方程的動遍形式
普矢量
形式
??? ? ? ? ?p z pd 1 V?? p x ?F?y? ? ? ? dt ??? x? y z?
? ? ? ?
? ?
1 dV 者：或 F?? ? ?P dt ?
??? ? ? ?P? ? ?? ?x? y ? z ??
?
xp pxy pxzx ? ?? ? px ypyy py ? ?z? ?pzx zy ppzz
?
微分形的能量方程式
能
量恒守定律自然界的普是規(guī)遍，流律體運(yùn)在過動程 1動能、程方 也是遵循該定律。 中、2流量方熱 程立孤系（與統(tǒng)外沒有界質(zhì)量能量的交換）、流：體在運(yùn) 動過可程以隨著各伴形式的種能量之的間相轉(zhuǎn)互換，但3、伯努 利方 總能量起不變的； 程是
孤非系立統(tǒng)：能量的變總化，于外等力包（質(zhì)量括 力和系外部的表面統(tǒng)）對系力所統(tǒng)的做和所吸功的收量。熱
統(tǒng)系能的量
對
于量，主能要指為種形式三內(nèi)能、：動能重力勢能。
單及質(zhì)位的量能-內(nèi)----e-：體流子分熱運(yùn)動而具有能量； 的位質(zhì)單量動能-的-----v/2表示2單位 質(zhì)量重力的勢---能---gz-由：萬有力引起與，位的置高有差關(guān)
；單
位質(zhì)量的能量總（儲能）存------e-s： 則體為?的流體積系統(tǒng)的量能E:
1
2 s ?ee ?v ? g z2
1
2 E? ? ?e sd ?? ? ?(e? v ?gz )d?? ? 2
力熱第學(xué)定一
對理于一靜個止熱的力學(xué)系（統(tǒng)起始或和止?fàn)顟B(tài)終處靜于的止系統(tǒng)：系 統(tǒng)）存能儲的增加等于力對外系所統(tǒng)作的功與界外遞傳給統(tǒng)系的量熱和之。
一個確
的流定體也可看作團(tuán)一熱個力系統(tǒng)學(xué)流體，
質(zhì)點(diǎn)在總流中動設(shè)， 系該統(tǒng)偏離平態(tài)衡不遠(yuǎn)系：總能量的變化統(tǒng)率包（括能和內(nèi)動）等于外力能系 對統(tǒng)的功作率功通與過熱向系導(dǎo)統(tǒng)傳的熱功之和率。
于某對系統(tǒng)，單一時位對間統(tǒng)所系的功（作際上實(shí)就 是功）率 d用
td
W
表
，單位時間示給系統(tǒng)的熱量加 Q用表，則示
系統(tǒng)
能 量E變的化率為 :
D E dW ?? Q t Dt
d系統(tǒng)的總在量能，中已考慮位單質(zhì)量重力的能，則質(zhì)勢 力量作功率中功不將包括重力作功功率 。將熱力第一定律應(yīng)學(xué)于流體用運(yùn)動把上式各項(xiàng)，用關(guān)的有流 物理體表示量出，即是來能量方程。
推導(dǎo)微分式形的量方程能的思路：根據(jù)熱學(xué)力第一律定系統(tǒng)能量 的，變率化等外力單于時位對系間所統(tǒng)的作功與通熱傳導(dǎo)向系過單位統(tǒng)時
間所的熱量傳之。和即 : 單位 間時系統(tǒng)量的能化變= 單位間時力對外統(tǒng)所系的作
+ 單功時間位界傳遞給系外統(tǒng)熱的量
外力
對統(tǒng)系作的功=所質(zhì) 力所量作的+表面力功所的功作外界
遞傳給系的統(tǒng)量熱= 導(dǎo)熱傳+射熱輻 下面有關(guān)用的流體物的量來表達(dá)上理各述項(xiàng)。
①
單時間系統(tǒng)位能的量化 方法 1
?變( ?u x ? ( ? ) yu ? ()? zu) ? ? ??? ?0 x ??y z ??
t微
元系統(tǒng)能量的時間變化也分為兩率部分，一部分是控體制內(nèi)儲存能 變的化，其單位時間變化的為率
?
(?e s ) d x d y dz ?t另一
分部為控制面遷移經(jīng)能量的引起，的位時間經(jīng)單全控制部面凈出流的儲存 能為
?
??? ?( ? e ) ?u ?(ve ) ? ( ?w e) s ss?d d yxd ? ?x zy ?z??
?
這
微樣系統(tǒng)總元儲的能的存時變間率化這為部分兩和之
：
?D E ?? ? ? ?? (?? s e )? ?(us ) ? e( ?ves) ? ( ?w e s?)d x d y d zD t? ?t ?x? y? z ?? ??? ?? ( ?es ) ?iv( ?d es v)?d x d y z d ?t ??? ? ?? ?? ?( ?e s ) ?(v ?? ) ?e(s) ??sedivv ? d x d d zy? ?t ? ? ?D ?? ? (? s e ) ??sed iv ? d xv dy z d D? t? ? ??D ? Ds ? ?? ? es ? ?es eivdv ? d x d ydz D t ?t ?D ?? ? ?D esD? ?? ? es ? ?( dvi v )? dx y dd zDt ? D t ?De ?s d ?dxy z dDt
①單
位間系統(tǒng)能時量的化 方變 法 體2數(shù) 導(dǎo) 在:t 時 刻微六面元系體統(tǒng)的存能儲 ?e
sd
xd y z ，d系統(tǒng)能其量的
隨D
s De EDD ?( ?e sxdddzy ) ? ?ddyxzd? es ( d?dxdy )zDt D tDt D t Dse?? d xd dy z系統(tǒng)質(zhì)量的隨 體數(shù) D導(dǎo)
t于由統(tǒng)系量的隨體導(dǎo)數(shù)等質(zhì)于。零
0es
D
( ? xdydz ) ?d 0D
t計②算力外微對元所作的 功括質(zhì)量力包表與面力作所功的
單位時間。質(zhì)內(nèi)量所作的力為
功
??Fb1 ? dv x d y d
（z為么什是積點(diǎn)
）表力所作面功的將依各，應(yīng)力分量分別計。算 x方
向的應(yīng)單位時間力作所功
為
后面前壓的力單時位間所內(nèi)的作功
? ? ??p xx?u ? ? p? ?d x u d ? ? x p u??? x x d? dy ??z x x? x? ?x ?? ??
左右?面切的單力時位內(nèi)間作的所
功??
p yx? ? ?? ?? d uy ?? u ? d y ?? p yux? d z xd?? p y x ? ?y y ?? ??? ?? 上
面的下力切單位間內(nèi)時所作功的
??? ?px ?z ?u ? ?p d?zu dz? ? puzx d?dy x?? ??? x z?z ?z ?? ????
方向x的應(yīng)單位力時間作所功為 后前壓力面
左面右力切
?? ? pyx? ? ?u ? ??? px?x ? ?? u?? ? ?pxx ?? xd x? ? u ? ?x x ? d? xpux ? dy d z ?? ?p y x? ?yd y? u ? ?y? d y ?? pyx u? d d z ?x ? ?? ? ? ????? ? ? ?p? ??? u ?? ??? zx ? zx dpz ??u ? d z ? ? p zux ?d xd y上下切力面 z? ?? ?z ? ? ?
??
?u ? px yp ?xy? u? ??u px? ?pxx ?xu ?? ?pxx ? u d ? ?x xd d yd z? p ?x y ?? udy ? xddy dz?x ? x? ?y y ?? ? ? xx ? ??y y? ?p u ? ? ?? ?p ? ?upz x ?zxu ?z xd z d ? dxy d ?z zz ??? z ??
z
? py x?u?? ? xp x?u p?x ?u z?? ?? (?px u x ?) (p xuy )? pzx( )u ?d ? dy?x zd?d d x d z y?y ? zx ?? xy ?y? ?z? z? ? x? ??? ? ??? (pxxu ) ? ( pyu x) ? (pzx u ) ? xdd d yz? y? ? z? x
?什么等于0為
同， y理 向應(yīng)的力功作
為??
??? ? ? ( xpyxv ) ?y?( p y vy)? ?z (pyzv) ? d dx dy z?? 同理， z
向的 應(yīng)作力功為
? ? ??? ? x ? (xzpw) ? ?y ( yz p)w? ? (z pzzw) ? d xd y dz ?
?
將
部全表力所面功作相可加寫為
??? ? ? ?? ? ?? ( p )u ?( p ) ?u p u( )dxdy z ?d( v p)? (pv ) (?p v d x) dydz ? y xz xx yy yyz ?x ?xx? ?? y ?z ?y? ?z ? ? ?? x ?? ? ?? ?( p w ) ( ?pw )? ( p w ) z yzz? ? x z ?xdxd yd z? ? zy ?
?? ? ? ? ? ??( p xx ?u xp v y?pxz w )?( p xuy p yy?v ?p y zw ) ? pz(u ? xp zy v p?zz w )? dxddyz y?? z ??x? ?? ? ? ?? (p x ??v ) ? p (y? v) ? ( z p? )v d?x d yd ?zy ? ?z ?x ?這樣
對微元，六面，質(zhì)體力量除（重去）和表力力面單在位時間共的功作
為
W d? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?F ?bv ? (p x v?) ?p(y ? v ) (p ?z? v ?)d x y d zdd tx? ?y ?z? ?
③后最計算加給微元六面體再熱量 的里計這的只是算射輻及熱傳導(dǎo)兩種熱 。輻熱射通是電過磁波對體產(chǎn)流熱量，設(shè)單生時 位
間內(nèi)由輻傳入單射位量質(zhì) 體的熱流量q，為單位則時間在內(nèi)微元產(chǎn)內(nèi)輻射生為
熱?
d qx dy d
z導(dǎo)傳熱通過體表流面入傳體流。ABD面元C傳微元入熱量的
為?k
?T dyd z?x
單時間內(nèi)通位A過?B? ?C?面元D傳微入元的量熱
?為 T ?? ? T? k dy d ?z?k y d dz d? x?x ? x ?? x?
于
單位是間經(jīng)時BCA、 AD? B?C D?兩面共?傳熱量入
為? ?T?? kdy d z ?d ?x ?x? ? x
?AA ?D? 、 DB ? C?C 兩相B對元面位單間傳入時熱量
? 為? ?? T? ? k zd d dyx ? ??y? ? y?
?AA BB ?D、?DC?兩相對面元C位單時間傳熱入量
為
? ??T ? d dx yd z ?k ?? z? z?
?
因而
微元體經(jīng)全部表，單面時間傳入位微元的量為
熱 ?? ??T ? ? ? T?? ? ? ? ??T? k? ?k ? ? ??? xdd d z ? yk? ? ?? ?x ?? ?x y ? ?? ? yz?? ?z ? ??? ? (k?T) d x dy d
zQ
? [? q ??? (k ?T ) ]dx d yd z 依熱力學(xué)第一
律定
?D ? ? ? ??? es xdd y d z ? ? F? b1? v? ( px ? v ) t Dx?? ? ? ? ??? ? (p? y ? v)? (pz ? v) ? ?q ? ?? k(T )?? d x d dy z y ?z? ?
D ? ? ? ? e
s? Fb?1?V ? p x (?V ) ? p( ? y )V? (p z ? V )? ? q ? ? (k?? T ) t ?xD y? ?
z?
p x? V ?pxx u ? pxyv ?p xzw ?? p? y V ? ?p xy u? p yy v?p y zw ? ?p? ?z V pz?x u?pzy v ?p z wz上式
右三個量組成端一個了量矢以表并示
?
xp ?xp ? V ? ? p x ?y pz x?
pyxp y ypzy
p
x z? u ?? ?pxxu ? pyxv ? pz x w ? ?? ? ?? zyp ? v? ?? ? p xuy? p yyv ? py wz ? p? ?up v?p w?? ? p z ?zw ? ?? ? x zz yzz?
三個量 和之
? ? ? ??? ? ? (p x? ? )v ?p y( ?v ?) p (z? v )構(gòu) 成散了度：? x?y ?
?z ? ? ??? ?? ? ? p( x? v) ? ( yp ? v ) (p?z ? ) v div?P( ? )v?x ? y z
?D
?D1 2 ?? s ? e ?e? v ? g z ?? Dt t ?D 2 ?? ?? ?F?b1 ? ? vid(v P v? )? d v(i kgrad T ? ?)
這就是q微分式的形能方量。
將程上式以除?，有
?
1 ?1 D s ? Fbe 1 ? v? di vP( ? v ) ? dv(i krgd aT ? q Dt)? ?
?1 ? 1 D es ?F b 1 v ? div(? ? v P )? dvik( gar T ) ?d qDt ??
式中各的項(xiàng)理物意：義 端左單位為質(zhì)量體流存儲（能包括能、內(nèi)動量勢及）能的化變；率
右端一項(xiàng)第為單位間內(nèi)質(zhì)時量（力除重去力）單位質(zhì)對流體量作所 ；功 二項(xiàng)為單位時第內(nèi)表面力間單位對質(zhì)量流所作體功； 的第項(xiàng)三為單時間內(nèi)位界通外過單質(zhì)量位流體表面?zhèn)魅氲膫鳠�，�?dǎo)
四項(xiàng)第為位單間內(nèi)時加
給單位質(zhì)流體量的射輻。熱
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