線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

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線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

劉勇

(大連交通大學(xué)理學(xué)院遼寧大連 116028)

摘要:本文對非齊次線性方程組進(jìn)行了深入的討論,并給出了另一種刻畫非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的方法,即只用自身的有限個(gè)解來表示全部的解。從而使非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)更加完善。關(guān)鍵詞:線性方程組線性無關(guān) 解的結(jié)構(gòu)中圖分類號:G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2009)12(b)-0033-01

線性方程組理論是線性代數(shù)最基本的內(nèi)容之一,它在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域及其他學(xué)科的各個(gè)分支都有著廣泛的應(yīng)用。研究線性方程組解之間的關(guān)系及解的結(jié)構(gòu)是線性方程組理論的核心內(nèi)容。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可以通過自身的有限個(gè)解來表示其全部解。而在一般的線性代數(shù)教材中關(guān)于非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)則是借助于它的導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系和它自身的一個(gè)解來表示。那么,非齊次線性方程組能否也像齊次線性方程組一樣也用其自身的解來表示全部解呢？這是我們要討論的問題。

設(shè)數(shù)域P上的線性方程組為

AX=B (1)對應(yīng)齊次方程組可表為

AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn為A的列向量則(1)還可表為x1α1+x2α2+L+xnαn=B,顯然方程組(1)有解的充要條件是B可由α1,α2,L,αn線性表示。

在解決線性方程組有解的判定之后,進(jìn)一步討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題。在線性方程組解是唯一的情況下當(dāng)然不存在什么結(jié)構(gòu)問題。有許多解的情況下,第一文庫網(wǎng)所謂的解的結(jié)構(gòu)問題就是解與解之間的關(guān)系問題。同樣分兩種情況:1.B=O

定理1設(shè)齊次線性方程組(2)有非零解即r(A)=r

定理2(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)齊次線性方程組(2)中,r(A)=r

2.B≠O

定理3(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)非齊次線性方程組(1)中,

r(A)=r(A

%)=r

是非齊次線性方程組(1)的

導(dǎo)出η1方,η2程,L組,ηn(2)?r

的一個(gè)基礎(chǔ)解系,那么非齊次線性方程組(1)的全部解為

γ0+k1η1+k2η2+L+kn?rη,

n?r

其中k1,k2,L,kn?r∈P。

r(A)=r(A

上述3個(gè)定理在一般的線性代數(shù)教材%)=r

如果γ1,γ2,L,γn?r+1是它的n?r+1個(gè)線現(xiàn)在,我們比較上述兩種情況,齊次線性無關(guān)解,那么非齊次線性方程組(1)的全性方程組解的結(jié)構(gòu)是通過自身有限個(gè)解來部解為:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1,其表示全部解的,而非齊次線性方程組解的中k1+k2+L+kn?r+1=1。

結(jié)構(gòu)則是通過導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系和它這樣,關(guān)于非齊次線性方程組解的結(jié)自身的一個(gè)解來表示的。那么,非齊次線性構(gòu)我們有定理3和定理4兩種表達(dá)形式。可方程組是否也可以用自身的有限個(gè)解表示以證明兩個(gè)定理是等價(jià)的。

全部解呢？我們構(gòu)想非齊次線性方程組(1)在有無窮多解時(shí)的另一種解的結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)

引理1設(shè)非齊次線性方程組(1)有無窮

[1]陳志杰著.高等代數(shù)與解析幾何[M].北

多解,即r(A)=r(A

%)=r

n?r+1個(gè)線性無關(guān)解。

[2]王德生著.高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題解

引理2設(shè)非齊次線性方程組(1)中

析[M].大連:遼寧師范大學(xué)出版社,2002.

r(A)=r(A

%)=r