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空間中點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案
第二章 點(diǎn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系
§2.1.1 平面
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
（1）利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀(guān)圖； （3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用； （4）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。
【課前導(dǎo)學(xué)】閱讀教材40—43頁(yè)，完成新知學(xué)習(xí)：
1.試描述平面及畫(huà)法
2.三個(gè)公理：
公理1：文字語(yǔ)言： ___________________________ 符號(hào)語(yǔ)言： ____________________________ 圖形語(yǔ)言：
公理2：文字語(yǔ)言： ____________________________ 符號(hào)語(yǔ)言： ___________________________ 圖形語(yǔ)言：
公理3：文字語(yǔ)言： ____________________________ 符號(hào)語(yǔ)言： ____________________________ 圖形語(yǔ)言：
【課中導(dǎo)學(xué)】
（一）實(shí)物引入、揭示課題
生活中常見(jiàn)的如黑板、平整的操場(chǎng)、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？ （二）研探新知 1、平面含義
以上實(shí)物都給我們以平面的印象，幾何里所說(shuō)的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的，但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的。 2、平面的畫(huà)法及表示
在平面幾何中，怎樣畫(huà)直線(xiàn)？
類(lèi)比，將知識(shí)遷移，得出平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）
D C
A B
平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果幾個(gè)平面畫(huà)在一起，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)畫(huà)成虛線(xiàn)或不畫(huà)
ββ
·B
課本P41 圖 2.1-4 說(shuō)明
·A 平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合。
點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作：A∈α 點(diǎn)B在平面α外，記作：B ?α
2.1-4 3、平面的基本性質(zhì)
把一把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌邊，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上，用事實(shí)歸納出以下公理
公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)，即
A∈L
A
B∈α LA∈α
B∈α·B
公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)
生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀等等…… 歸納出公理2
公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 A B
·符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn) => 有且只有一個(gè)平面 C ·
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。
公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
§2.1.2 空間中
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直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
（1）了解空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系；
（2）理解異面直線(xiàn)的概念、畫(huà)法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；
（5）異面直線(xiàn)所成角的定義、范圍及應(yīng)用。
【課前導(dǎo)學(xué)】閱讀教材44—47頁(yè)，完成新知學(xué)習(xí)：
1.用文字語(yǔ)言敘述異面直線(xiàn)的概念
2. 用圖形表示兩條異面直線(xiàn)
3.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有哪三種？
4. 用文字語(yǔ)言敘述公理4
5.用符號(hào)語(yǔ)言敘述公理4，并畫(huà)出相應(yīng)圖形
6.用文字語(yǔ)言敘述等角定理：
7.用數(shù)學(xué)符號(hào)敘述等角定理：
【課中導(dǎo)學(xué)】
1、由長(zhǎng)方體模型，可以得出得出空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系： 相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 共面直線(xiàn)
平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；
異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。
由異面直線(xiàn)不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如下圖：
2、（1）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)互相平行。在空間中，是否有類(lèi)似的規(guī)律？
公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。 符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)
a∥b =>a∥c c∥b
強(qiáng)調(diào)：（1）公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。
（2）公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。 3.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 強(qiáng)調(diào)：并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來(lái)。 4、異面直線(xiàn)所成的角的概念：
（1）如圖，已知異面直線(xiàn)a、b，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a'∥a、b'∥b，我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線(xiàn)a與b所成的角（夾角）。
（2）強(qiáng)調(diào)：
① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上； ?② 兩條異面直線(xiàn)所成的角θ∈2， )；
③ 當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作a⊥b；
④ 兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。
§2.1.3 — 2.1.4 空間中直線(xiàn)與平面、 平面與平面之間的位置關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
（1）了解空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系； （2）了解空間中平面與平面的位置關(guān)系； （3）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。
【課前導(dǎo)學(xué)】閱讀教材48—50頁(yè)，完成新知學(xué)習(xí)：
1. 直線(xiàn)與平面平行的概念：
2. 空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系有那三種？以公共點(diǎn)個(gè)數(shù)如何劃分？ 分別用圖形和符號(hào)表示它們。
3.平面與平面之間的位置關(guān)系有哪幾種？以交線(xiàn)怎樣劃分？分別用圖形和符號(hào)表示它們。
【課中導(dǎo)學(xué)】
1、觀(guān)察、思考身邊的實(shí)物，從而直觀(guān)、準(zhǔn)確地歸納出直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：
（1）直線(xiàn)在平面內(nèi) —— 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
（2）直線(xiàn)與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) （3）直線(xiàn)在平面平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn)
強(qiáng)調(diào)：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用a α來(lái)表示
a α a∩α=A a∥α
完成例4
例4的給出加深了學(xué)生對(duì)這幾種位置關(guān)系的理解。
2、對(duì)生活實(shí)例以及對(duì)長(zhǎng)方體模型的觀(guān)察、思考，準(zhǔn)確歸納出兩個(gè)平面之間有兩種位置關(guān)系：
（1）兩個(gè)平面平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn)
（2）兩個(gè)平面相交 —— 有且只有一條公共直線(xiàn)
用類(lèi)比的方法，很快地理解與掌握了新內(nèi)容，這兩種位置關(guān)系用圖形表示為：
Lα βα∥β α∩β= L
強(qiáng)調(diào)：畫(huà)兩個(gè)相互平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊
平行。
完成教材P51 探究，加深對(duì)這兩種位置關(guān)系的理解
§2.1.1 平面
A組
1．下列圖形不一定是平面圖形的是( ) A．三角形 B．梯形 C．四邊形 D．菱形
2．如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表示為( )
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 3．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，點(diǎn)C?l，又AB∩l＝R．設(shè)A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是( )
A．直線(xiàn)AC B．直線(xiàn)BC C．直線(xiàn)CR D．以上均錯(cuò)
4．已知點(diǎn)A，直線(xiàn)a，平面α，①A∈a，a?α?A?α；②A(yíng)∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α．
以上命題表達(dá)正確的個(gè)數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線(xiàn)，下列推理錯(cuò)誤的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN C．A∈α，A∈β?α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線(xiàn)?α，β重合 6．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c ＝C，則直線(xiàn)a，b，c，l的位置關(guān)系是__________．
B組
1．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線(xiàn)A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則點(diǎn)C1，M，O的關(guān)系是________．
2．給出下列四個(gè)命題：
①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線(xiàn)；
②空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則此四點(diǎn)必共面； ③空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，則此四點(diǎn)不共面； ④空間四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)不共線(xiàn)． 其中正確命題的序號(hào)是________．
3．根據(jù)下列條件畫(huà)出圖形：平面α∩平面β＝AB，直線(xiàn)CD?α，CD∥AB，E∈CD，直線(xiàn)EF∩β＝F，F(xiàn)?AB．
4．定線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)與定平面α相交，P為直線(xiàn)AB外任一點(diǎn)，且P?α，
直線(xiàn)AP，PB分別與α交于A(yíng)′，B′，求證：無(wú)論P(yáng)在什么位置，A′B′恒過(guò)一定點(diǎn)．
§2.1.2 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系
A組
1．分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)一定( )
A．異面 B．相交 C．不相交 D．不平行
2．已知空間四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，那么順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是( )
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四邊形
3．已知異面直線(xiàn)a與b滿(mǎn)足a?α，b?β，且α∩β＝c，則c與a，b的位置關(guān)系一定是( )
A．c與a，b都相交
B．c至少與a，b中的一條相交 C．c至多與a，b中的一條相交
D．c至少與a，b中的一條平行
4．有兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形( )
A．全等 B．相似 C．有一個(gè)角相等 D．無(wú)法判斷
5．如圖所示，為一正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，
①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線(xiàn)； ③CN與BM成60°角；④DM與BE垂直． 以上4個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是( )
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
6．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，與棱AA1垂直且異面的棱有________．
B組
1．已知a，b為不垂直的異面直線(xiàn)，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是：
①兩條平行直線(xiàn)；②兩條互相垂直的直線(xiàn)；③同一條直線(xiàn)；④一條直線(xiàn)及其外一點(diǎn)．
在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))． 2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與B1D1所成的角為_(kāi)_______．
3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)．求證：BFED1．
4．如圖所示，空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，MN＝5，求異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．
§2.1.3 — 2.1.4 空間中直線(xiàn)與平面、 平面與平面之間的位置關(guān)系
A組
1．平面外一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交
C．相交或平行 D．以上均不正確
2．對(duì)于任意的直線(xiàn)l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線(xiàn)m，使m與l( ) A．平行 B．相交
C．垂直 D．互為異面直線(xiàn) 3．已知下列命題：
①若直線(xiàn)l平行于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則l∥α；
②若直線(xiàn)a在平面α外，則a∥α； ③若直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)b?α，則a∥α；
④若直線(xiàn)a∥b，b?α，則直線(xiàn)a平行于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)． 其中正確的個(gè)數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α，則( ) A．α內(nèi)的所有直線(xiàn)與l異面
B．α內(nèi)不存在與l平行的直線(xiàn) C．α內(nèi)存在惟一的直線(xiàn)與l平行 D．α內(nèi)的直線(xiàn)與l都相交
5．與兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)平行的直線(xiàn)和這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是( ) A．都平行
B．都相交
C．在兩個(gè)平面內(nèi)
D．至少和其中一個(gè)平行
6．在下列四個(gè)命題中，是真命題的有( )
①若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β；②若對(duì)任一直線(xiàn)，a?α，均有a∥β，則α∥β；③a?α，a∩β＝A，則α與β不平行；④a?α，α∩β＝l，則a與β不平行．
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
A組
1．兩平面α與β平行，a?α，下列四個(gè)命題：
①a與β內(nèi)的所有直線(xiàn)平行；②a與β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行；③a與β內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都不垂直；④a與β無(wú)公共點(diǎn)．
其中是真命題的有__________．(填序號(hào))
2．過(guò)平面外一點(diǎn)，能作出__________條直線(xiàn)和此平面平行．
3．已知直線(xiàn)a，b，若a∥b，則過(guò)a且與b平行的平面有________個(gè)．
4．如圖，平面α，β，γ滿(mǎn)足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的關(guān)系并證明你的結(jié)論．
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