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高階微分方程
第五章 高階微分方程
§1 幾個例子
一、【內容簡介】
本節(jié)結合幾個具體的實例，介紹了與高階微分方程有關的定解條件、定解問題和高階微分方程的降階技巧。
二、【關鍵詞】 自治微分方程 三、【目的與要求】
掌握高階微分方程的降階技巧，能熟練地運用降階法解二階方程，會用已有知識建立高階微分方程及其相應的條件解決簡單的幾何、物理問題。
四、【教學過程】
§2
n維線性空間中的微分方程
一、【內容簡介】 在這一節(jié)里，主要介紹如何把n階微分方程式化為標準微分方程組并采用向量的記號，將標準微分方程組寫成向量的形式，從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來。
二、【關鍵詞】 模；線性微分方程組 三、【目的與要求】
掌握將高階微分方程化成等價的n階標準微分方程組的方法；會敘述n維向量形式的微分方程和n階線性微分方程組相應的畢卡存在和唯一性定理；掌握n階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。 四、【教學過程】
§3 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性
一、【內容簡介】 在這一節(jié)里，主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性，由于解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性問題可歸結為解對參數(shù)的同一問題。因此我們只討論方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性。
二、【關鍵詞】 參數(shù)；連續(xù)依賴性 三、【目的與要求】
解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理揭示了微分方程的解的重要性質，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應用。
四、【教學過程】
§4 解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性
一、【內容簡介】
本節(jié)主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣，只考慮方程的解對參數(shù)的連續(xù)可微性。
二、【關鍵詞】 連續(xù)可微性；變分方程 三、【目的與要求】
與上一節(jié)一樣，解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應用。
四、【教學過程】 教學過程
前面我們主要討論的是關于一階方程的幾個初等解法，在實際應用中，大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對于高階微分方程沒有較為普遍的解法，下面我們通過例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過某些變換降為低階的微分方程。
§1 幾個例子
若方程不明顯包含字變量，即：
F(y,y',?,y(n))?0 （1）
'
(n)
這類方程叫作自治（或駐定）微分方程。
若方程明顯包含字變量，即：
F(x,y,y,?,y
dy，則 )?0 （2）
這類方程叫作非自治（或非駐定）微分方程。
對于（1）可考慮降階。令
z?
d2ydy?????z??dxdydxdydx2
?d3ydydy?3?dx(zdy)?zdy(dy)?dx?dy?dy?dx ?dx
?22)2?z?z(?dydy2????n?1dny)??(z,,?,?nn?1dydxdy?
代入（1），則得一個n-1階的微分方程F
n?1
)?0
(y,z,,?,1dydyn?1
2例
dt?f(x) （3）
，則 v?dt
這是一個二階的自治方程。令
d2xdt2
dv?dx?v?dx
?dv?dtdxdtdt
代入（3）則得一階方程v分離變量積分得v2
?f(x)
c ??f(x)dx?c?F(X)?11
或
v2?2F(X)?c1 （4）
其中
c1是常數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)。
（4）是一個一階微分方程 ??c1，
對于固定的
1
分離變量，積分得其中
G(x,c1)?t?c2， （5）
c2是第二個常數(shù)，而G(x,c1)???
，
1
稱（5）為微分方程（3）的通積分。
例1、 單擺方程
取一根長度為的細線OM，把端點
l
o固定在一頂板上，而另一端點M掛上
一個質量為m的小球，將小球拉離平衡位置，然后松開，讓它在一垂直平面內自由擺動，這樣就構成一個單擺。（設單擺除重力外不受其他力的作用）。
設直線OM與垂線op的有向夾角為動可以用弧度x?
x，并設逆時針方向為正，則單擺的振
x(t)來描述，單擺振動時，M端只能在圓周上運動，且它的
2
，切向加速度為l?。 l?dt角速度為，切線速度為
dt
現(xiàn)將重力mg分解到切線T及向徑N上，在T上的分力為T
??mfsinx
其中負號的力學意義：T與號。
x的方向總是相反的(|x|??)，即T與sinx異
2
由牛頓第二定律，即可得單擺的運動方程為：m(l)
dt2
??mgsinx 或寫
成 2
dt
?a2sinx?0 （6） 2
其中常數(shù)a?
?0
2
v?,2?v,則得 dtdtdx
方程（6）為自治方程，可以用上述方法降階，令
2 或寫成v?asinx?0dx
dv2
2
??a2sinxdx
這是一個為函數(shù)為自變量的一階微分方程，積分得
2v2?a2cosx?c，上式可改寫為??2acosx?c1
1dt（7）
分離變量積分得
vx
?
?2acosx?c1
?t?c2
上式出現(xiàn)了橢圓積分，為了克服這一困難，我們可以利用的泰勒級數(shù)sin時，sin
sinx
x3?x5?x7??線性化。即當|x|很小x?x?2dt2
x?x，可用線性方程 ?a2x?0 （8）
來代替方程（6）。
dxdxd2x2dx?ax?0 對于方程（8），以乘以方程（8），即得2
dtdtdtdt
對它可以直接積分，得
dx21dx212212
()?a2x2?c12 ()?ax?c1 （c1?0） 或 dt2dt22
于是有
dx
??c12?a2x2 dt
1ax
)?t?c2 ac1
分離變量積分得通積分
由此求得通解 x?Asin(at?D) （9）
c1
?0 D其中 A?a
由通解（9）可見，當當
?ac2 是兩個任意常數(shù)。
dx
?0 ； dt
A?0時，得到單擺的靜止狀態(tài)：x?0 v?
A?0時，單擺將以A為振幅，a為頻率作簡諧振動。
2?l
?2? ag
由（9）可知，單擺將作周期振動，而且周期T?
由此說明，單擺的振動周期只與單擺的長度l和重力加速度g有關，而與初始條件無關。這就是所謂單擺振動的等時性。老式的單擺鐘就是利用了這種“等時性”。
例2 懸鏈線方程
設一理想的柔軟而不能伸縮的細線，將兩端掛在支點A和B上，由于受重力的作用，自然彎曲，試求懸鏈線的形狀 y?y(x)。
這個問題是歷史上的名題，最初1690年由詹姆斯?貝努里提出來，伽里略曾猜想這條曲線是拋物線，但是后來發(fā)現(xiàn)不對，最后由約翰?貝努里解決了，萊布尼茲把它命名為懸鏈線。下面就來解決這一問題。
設在xy平面上，懸鏈線的最低點為M，過M作垂直線為y軸，在上取一點
O，OM的長度后面再確定，過O點，取與y軸垂直的直線為x軸（如圖）
對于曲線AB是任意一點P，在MP弧段上T,H為張力，W為重力。由于MP處于平衡狀態(tài)，則有
Tcos??H,Tsin??W??0s ?0為單位長度的重量，消去T，得 tan??
s為MP弧長。
?0s
H
令
?0
H
?a 則有
dy
?as dx
d2yds
s?a為了消去，將上式求導得 2
dxdx
dydy2dsdy
??()2 代入得 2?a?() 而 （10）
dxdxdxdx
此方程是一個二階的自治系統(tǒng)，令z?y'，則方程（10）降為一階方程
dz
?a?z2，分離變量積分，得 ln|z??z2|?ax?c1 dx
2
因為當x?0時，z?y'?0，代入得c1?0 從而得 ln|z??z2|?ax 即 z由此又可得 z?
??z2?eax （11）
?z2??e?ax （12）
1ax
(e?e?ax) 2
（11）+（12） 得z?即
dy1ax
?(e?e?ax) dx2
積分，得 y?
1ax
(e?e?ax)?c2 2a
若把x 軸取在合適的位置，使當于是所求懸鏈線方程為y?
x=0 時 y?1 代入 得 c2?0
a
1ax1
(e?e?ax)?chax 2aa
例3 二體問題
天體運動中的二體問題是歷史上一個著名的問題，牛頓早在發(fā)明微積分的同時，就研究了二體問題。
假設太陽是靜止的，它的質量為mS，地球的質量為mE，由于太陽系中除太陽外所有行星的總質量遠小于mS，因此我們可以忽略別的行星的作用�，F(xiàn)把坐標系的原點取在太陽S上，這就構成了一慣性坐標系，地球E的坐標向量為?
r(t)?(x(t),y(t),z(t))，則E的速度和加速度分別為
???(t)?(x?(t),y?(t),z?(t),??(t),??(t)) ??(t)) rr?(t)?(?xyz
由牛頓第二定律
??
F?ma
，則地球的慣性力為
?
?(t),??(t),??(t)) mE?r?(t)?mE(?xyz
?
GmEmSr(t)???mr(t)??2再根據萬有引力定律，可建立地球的運動方程為E |r(t)||r(t)|
?Gmr?S(t)??即 r(t)?? （13） |r(t)|3
將（13）寫成分量形式，即得如下的非線性方程組
?Gmsx?????x?(x2?y2?z2)3?Gmsy?
???y?? （14）
(x2?y2?z2)3??Gmsz??z???2223
(x?y?z)??
這是一個自治的微分方程組。
求解這種高階非線性方程組常用首次積分，由（14）可以得到
d2yd2zddydzz2?y2?0 即 (z?y)?0
dtdtdtdtdt
由此可得一個首次積分
??yz??c1 （15）zy
其中c1是任意常數(shù)，同理可得：
??c2
高階微分方程 （16）??zxxz ??xy??c3 （17）yx這里c2，c3都是任意常數(shù)。
用x乘以（15），y乘以（16），z乘以（17），然后相加得，
c1x?c2y?c3z?0
這就是地球運行軌道所在平面的方程，這就證明了地球運行的軌道永遠在一平面上。即二體問題是一個平面問題。下面設這個平面為x，y，坐標平面。即地球的軌道永遠在平面z=0上，那么描述地球位置的坐標只要兩個，即x和y，而運動的方程為一個4階方程：
?
???x???(x2??????yux?y2)
uy32
（18）
?3?
(x2
?y2)
2
其中 u
?GmS
用y乘以（18）的第一式，用x乘以（18）的第二式，相減得：
d
dt
(yx??xy?)?0 由此可得一個首次積分 yx
??xy??c4 用
zx
?乘以（18）的第一式，用zy?乘以（18）的第二式，相加得： zx??x??zy??y
???zu(xx
??yy?)3
(x2?y2)2
d1
即 dt(x?2?y?2)?2uddt
(x2?y2
)?2 x?2?y?2?2u(x2?y2
?
1
由此又得到一個首次積分
)2
?c5 為討論方便，引進極坐標
x?rcos?,y?rsin?
，那么
x??(drd?cos??rsin?)d?dt y??(drd?sin??rcos?)d?
dt
代入（19）得 ?r2
d?
dt
?c4 即有 12d?2r
dt??1
2
c4 19） 20）
21）
22） （（（（
12?
注意在dt時間內向量r掃過的扇形面積為rd?
2
12d?的面積為r
2dt
，故向量r在單位時間掃過
?
。這樣就得到了開普勒第二定律：從太陽到行星的向量在單
位時間內掃過的面積是常數(shù)。
dr2d?22u2
)?r]()??c5 將（21）代入（20），得：[(d?dtr
即 (
dr2d?22u
)?(r)??c5 （23） dtdtr
注意到（22）式有
c422udr2d?22u
()?c5?(r)??c5?2? dtdtrrr
u2c422uu2u2c4u2
?c5?()?2??2?c5?()?(?)
c4rrc4c4rc4
為使上式有意義，我們設c5?(
drr2??再利用（22），推得d?c4
cdruuu2
??c5?()2?(4?)2 )?0因此有dtc4rc4c4c5?(
cu2u
)?(4?)2 c4rc4
d(
從而得
?c5?(
c4
)cu2u)?(4?)2c4rc4c4u?rc4
?d?
積分得arccos
c5?(
u2)c4
????0
2
cc4
?0,e?4其中?0為任意常數(shù)，若又記p?
uu
c5?(
u2
)?0 c4
則可得行星運行軌道方程r?
p
(24)
1?ecos(???0)
由平面解析幾何知，（24）表示一條二次曲線，當0?e?1時，它是橢圓，這表示地球運行軌道為橢圓，且它以坐標原點為焦點。這表明太陽正好是這個橢圓的一個焦點。此時e是離心率。這樣又得到了開普勒的第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。利用上面類似的推演，牛頓還證明了開普勒的第三定律。
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