拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用
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拉格朗日中值定理的一些應(yīng)用
柳州師范高等�？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系
莫明忠
［摘要］微分中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理,而拉格朗日中值定理則是微分中值定理的核心,有著廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)拉格朗日中值定理應(yīng)用方面作一些探討和歸納。［關(guān)鍵詞］拉格朗日中值定理極限不等式收斂
拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)。它作為
中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，在很多題型中都起到了化繁為簡(jiǎn)的作用。下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在七個(gè)方面的應(yīng)用。
１．求極限
由拉格朗日中值定理指出，如果f在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),a<ξ
因此對(duì)坌x(a,b)，有f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a),a<ξ
例1求limn2(姨n
n+1
n→∞
-姨)(x>0)
解：令f(t)=x'，則對(duì)任何自然數(shù)n，f(t)在
1,1
n+1n姨
上適合中值定理的條件，而且此時(shí)f'(t)=xt
lnx是t上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，因此在11
,姨上利用拉氏中值公式，有
n2(n姨-n+1姨)=n2姨f1δ-f1δ姨=n2f'(ξ)1-1
=n2xξlnx,
1<ξ<1，當(dāng)n→+∞時(shí)，ξ→0。故原極限=limn2
n→+∞xξlnx=lnx。
２．證明不等式
證明不等式的方法很多，但對(duì)于某些不等式，用初等解法不一定解得出來，比如描述函數(shù)的增量與自變量增量關(guān)系的不等式或者中間一項(xiàng)可以表示成函數(shù)增量形式等題型。這時(shí)，如果考慮用拉格朗日中值定理，會(huì)比較簡(jiǎn)單。
1111例2試證不等式k
1，n為自然數(shù)。1證明：令f(x)=k(k>1)，對(duì)f(x)在[n,n+1]上應(yīng)用拉氏中值定理，則在(n,111n+1)內(nèi)存在ξ，使f(n+1)-f(n)=f'(ξ)，即k-k=-k
lnk。因?yàn)閗>1，1111
lnk>0，所以有k-k
lnk
0上是單調(diào)遞減1111111kk-k
的，又因n<ξ<<k，所以
由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點(diǎn)x1，x（2不妨設(shè)x1
有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，
那么若f'(x)恒為0，則有f'(ξ)=0，所以f(x2)=f(x1)，由x1，x2的任意性可知，f(x)在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。即有下面一個(gè)推論：
推論：如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在I內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，利用這個(gè)推論可以證明一類反三角恒等式的題目。
例3證明arctgx-1arccos2x=π(x≥1)恒等。
證明：令φ(x)=arctgx-12arccos2x1+x2(x≥1)，在(x≥1)時(shí)arccos2x1+x
2有意義，且φ'(x)=112(1+x2
)-2x·2x+1姨
δ
=1+11-2x1+x22
2(1-x)=0∴在x>1時(shí)，φ(x)=c（常數(shù)）。又取(1,+∞)內(nèi)任一點(diǎn)，如姨，有φ(姨)=π-1π=π，且φ(1)=π-0=π，所以端點(diǎn)值也成立，由推論有arctgx-12arccos2x1+x2=π4
(x≥1)恒等。４．證明等式
用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應(yīng)用中很重要的一項(xiàng)。證明
的目標(biāo)在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機(jī)會(huì)應(yīng)用。
例4設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=1，試證堝ξ,η∈
(a,b)，使得eη-ξ
[f(η)+f'(η)]=1。
證明：令F(x)=exf(x)，則F(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存
在η∈(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)=eη[f(η)+f'(η)]，由條件f(a)=f(b)=1，可得eb-e
a
=eη[f(η)+f'(η)]，再令φ(x)=ex，則φ(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，
故存在ξ∈(a,b)，使得eb-ea
=eξ，綜合上述兩式可得eξ=eη[f(η)+f'(η)]，即
eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。
５．研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)
因?yàn)槔现兄刀ɡ頊贤撕瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時(shí)候。我們可以借助其導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間上的整
體認(rèn)識(shí)。比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)、
單調(diào)性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的結(jié)論。通過對(duì)函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，這是數(shù)學(xué)研究中一種重要的方法。
例5證明:若函數(shù)f(x)于有窮或無窮的區(qū)間(a,b)內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù)f'(x),則f(http://http://www.szmdbiao.com/news/55953BF76A97CA5B.htmlx)于(a,b)中一致連續(xù)。
證明：設(shè)當(dāng)x∈(a,b)f'(x)≤M，對(duì)于坌x1,x2∈(a,b)，在以x1,x2為端點(diǎn)的區(qū)間上由拉氏中值定理，有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)，ξ在x1,x2之間。那么有f'(x)
21
≤M，對(duì)于坌ε>0，取δ=ε，則當(dāng)x1,x2∈(a,b)，且x1-x2<δ，就有f(x1)-f(x2)
=x1-x2f'(ξ)≤M(x1-x2)<ε（ξ在x1,x2之間）由一致連續(xù)定義可知，f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。
６．估值問題
證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便。特別是二
階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時(shí)。
但對(duì)于某些積分估值，可以采用拉氏中值定理來證明。
a
例6設(shè)f"(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)=0，試證：乙
bf"(x)dx≥4
am≤xax≤b
f(x)
證明：若f(x)≡0，不等式顯然成立，若f(x)不恒等于0，堝c∈(a,b)，使am≤axx≤bf(x)=f(c)，在[a,c]及[c,b]上分別用拉氏中值定理，有f'(ξ1)=f(c)，f'(ξ2)=f(c)aξ，從而乙bf"(x)dx≥乙
1ξf"(x)dx≥ξ
2乙
1ξf"(x)dx=f'(ξ2)-f'(ξ1)=2
f(c)(b-a)1再利用(c-a)(b-c)≤(b-a)2，即得所證。
７．證明級(jí)數(shù)收斂
∞∞
例7若一正項(xiàng)級(jí)數(shù)Σan(an>0)發(fā)散，sn=aa1+a2+…+an，證明級(jí)數(shù)nn=1
Σ
n=1
sn
(δ>0)收斂。
證明：作輔助函數(shù)f(x)=1δ，則f'(x)=-，當(dāng)n≥2時(shí)，在[sn-1,sn]上用拉
氏中值定理，得f(sn)-f(sn-1)nn1=f'(ξn)(sn-1<ξn
n-1s，nδ
∞
由Σ1
n=21s-1s收斂，即得所證。n-1n
δ
nn
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